Тогда взяв интегралы от обеих частей последнего равенства, получим
. Учитывая, что , получим следующую формулу
, (4.1)
или, учитывая, что ,
. (4.2)
Формулы (4.1), (4.2) называются формулами интегрирования по частям неопределенного интеграла.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей: и , а затем выполняются два интегрирования:
1) сначала отыскивается функция (постоянная С принимается равной нулю);
2) затем находится интеграл , который возможно, вычисляется легче, чем исходный.
При этом следует учитывать, что обычно к функции следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании, а все остальные множители – к , причем так, чтобы можно было найти интеграл .
Укажем некоторые виды интегралов, которые можно вычислить, используя метод интегрирования по частям ( – многочлен степени ).
Тип
Вид интеграла
Метод замены
, применять метод интегрирования по частям -раз, обозначая через очередную производную от
Пример 1. Найти .
Решение: Интеграл относится к интегралу первого типу ( ). Поэтому примем , . Тогда применяя формулу (4.1), получим
.
В некоторых случаях приходится несколько раз применять метод интегрирования по частям.
Пример 2. Найти .
Решение: Представленный интеграл относится к интегралу первого типа ( ). Вычисляем два раза формулой (4.1):
Пример 3. Найти .
Решение: Представленный интеграл относится к интегралу второго типа ( ). Вычисляем его интегрированием по частям:
.
Пример 4. Вычислить .
Решение: Представленный интеграл относится к интегралу второго типа. Примем , . Тогда вычисляя по формуле (4.1), имеем
,
где .
Интеграл вычислим методом замены переменной (подведением под знак дифференциала). Примем , тогда , , ,