Основные понятия

Операторный метод как математический метод интегрирования линейных дифференцированных уравнений создан в 1862 г. М. Ващенко-Захарченко. Хевисайд в конце XIX веке применил для расчета переходных процессов.

преобразование Лапласа.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа (преобразование Лапласа)

где - комплексное число, т.е. операторное изображение действительной функции, является функцией комплексного числа p.

В результате операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменяются алгебраическими операциями над их изображениями – происходит алгебраизация дифференцированных уравнений, т.е. дифференцированные уравнения для оригиналов переходят в алгебраические уравнения для их изображений. Решив полученные алгебраические уравнения в операторной форме относительно искомых величин, и произведя обратное преобразование операторного изображения в оригинал, получаем решение (интеграл) исходных дифференциальных уравнений.

Соответствие между оригиналом и изображением записывают так

Размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на размерность времени

По определению преобразование Лапласа, применимо начиная с момента времени t = 0₊ . Поэтому под ƒ(0), ƒ'(0), ƒ"(0) и т.д. будем понимать начальные значения функции и её производных при t = 0₊ .

обратное преобразование Лапласа.

Примеры

Для электрических цепей

;

При нулевых начальных условиях