Метод переменных состояния

Идея метода состоит в выделении таких искомых величин, которые определяют энергетическое состояние электрической цепи, т.к. переходный процесс и есть процесс перехода от одного установившегося энергетического состояния к другому. А так как энергетическое состояние в линейных электрических цепях полностью определяется токами индуктивных катушек и напряжениями конденсаторов, то, очевидно, что в качестве искомых величин, определяющих состояние цепи, выбирают именно их.

Т.о., идея метода состоит в выделении в качестве искомых величин токов индуктивных катушек и напряжений конденсаторов.

Токи индуктивных катушек и напряжения конденсаторов называют переменными состояния.

Токи и напряжения резистивных элементов схемы, называемые выходными величинами, всегда могут быть выражены через переменные состояния при помощи законов Кирхгофа.

Очевидно, что в системе диф. уравнений для электрической цепи любой конфигурации, составленной по законам Кирхгофа, входят только первые производные переменных состояния.

Это позволяет для послекоммутационной схемы вместо одного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка получить n дифференциальных уравнений первого порядка относительно выбранных переменных состояния (уравнения состояния). Метод наиболее универсален для анализа электрических цепей и может быть легко приспособлен для расчета на ЭВМ.

Поэтому, разрешив исходную систему дифференциальных уравнений, составленную по законам Кирхгофа, относительно переменных состояния, получают систему дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния для численного решения которой можно использовать стандартное математическое обеспечение ЭЦВМ (или аналоговых вычислительных машин.)

Под численными методами решения дифференциальных уравнений понимают методы, дающие приближенное решение в виде дискретного набора значений функции при некоторых значениях аргумента (Метод Рунге-Кутта, метод Пикара, метод Милна, экстраполяционный метод Адамса, метод с использованием ряда Тейлора).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что всякое уравнение или система уравнений разрешенная относительно старших производных всех искомых функций может быть приведена путем введения новых неизвестных функций к нормальной форме Коши:

Задача нахождения решения уравнений при заданных начальных данных называется задачей Коши.