Двоичная система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2. Ее алфавит – цифры 0 и 1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную также справедливо правило . Представим в десятичном виде число 1101₍₂₎, или, что то же самое, &1101 (& - амперсант, - этим символом принято указывать то, что следующая за ним запись двоичная).

1101₍₂₎=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=1*8+1*4+0*2+1*1=13₍₁₀₎

Но двоичная система имеет некоторые приятные особенности, т.к. коэффициентами при степенях двойки в ней могут быть только либо нули (и тогда можно просто игнорировать разряд числа, имеющий значение “0”), либо единицы (умножение на “1” также можно опустить).

Т.е. достаточно просуммировать “два в соответствующей степени” только в тех позициях двоичного числа, в которых находятся единицы. Степень же, в которую нужно возводить число 2, равна номеру позиции.

Арифметические операции в любой позиционной системе счисления также имеют общую логику.

Таблица 4

Каждый разряд двоичного числа имеет информационную емкость 1 бит. На основании одного двоичного разряда можно закодировать только два десятичных числа - &0=0₍₁₀₎, &1=1₍₁₀₎, на основании двух двоичных разрядов можно закодировать уже четыре десятичных числа – &00=0₍₁₀₎, &01=1₍₁₀₎ , &10=2₍₁₀₎, &11=3₍₁₀₎ , тремя двоичными разрядами можно представить восемь десятичных чисел и т.д. в соответствии с формулой Хартли.

Таблица 5

Мы видим, что добавление каждого следующего разряда вдвое увеличивает количество двоичных комбинаций. Графически это может быть представлено так:

Рисунок 7. Каждый следующий разряд двоичного числа удваивает количество возможных комбинаций из нулей и единиц

Таблицу степеней числа 2 от 2⁰ до 2¹⁰ следует знать наизусть.

Таблица 6

Открытие двоичного способа представления чисел приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716) в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через 2,5 столетия, когда именно двоичная система счисления нашла применение в качестве универсального способа кодирования информации в компьютерах.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием

Для осуществления такого перевода необходимо делить число с остатком на основание системы счисления до тех пор, пока частное больше основания системы счисления.

Пример перевода десятичного числа 25₍₁₀₎ в двоичный вид показан на рисунке 16.

Результат перевода записывается в обратном порядке, т.е. начиная с последнего результата деления.