Кодирование чисел. Системы счисления

Код - это набор условных сигналов для записи или передачи некоторых заранее определенных понятий.

Кодирование информации

Рисунок 5. Примеры систем кодирования

Любой способ кодирования характеризуется наличием основы (алфавит, спектр цветности, система координат, основание системы счисления…) и правил конструирования информационных образов на этой основе.

Система счисления (СС) - способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Различают системы счисления позиционные и непозиционные. Пример позиционной системы счисления — арабская (современная десятичная), непозиционной — римская.

Таблица 3. Позиционная и непозиционная СС

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции, разряда). Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Так, в десятичной системе счисления, основание которой равно 10, различают 10 арабских цифр - 0, 1, 2, ..., 9.

В вычислительной технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Двоичная система счисления имеет основание 2, и, следовательно, ее алфавит состоит из двух цифр - 0 и 1; алфавит восьмеричной системы счисления составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; шестнадцатеричной - десять арабских цифр от 0 до 9 и еще шесть символов - А (10), В (11), С (12), D (13), E (14), F (15).

Для любой позиционной системы счисления справедливо следующее правило формирования числа на основании входящих в эту систему цифр:

или, если расписать сумму в этом выражении,

,

где

y – число;

k – основание системы счисления;

x_i – цифры числа;

i – номер позиции (разряда) числа, начиная с 0.

Так, на основании формулы десятичное число 638₍₁₀₎ представляется следующим образом:

.

Мы говорим в таком случае, что в этом числе 6 сотен, 3 десятка и 8 единиц.

Исторически, использование для счета десяти цифр связано с тем, что человечество училось считать на пальцах. На самом деле для представления любого числа достаточно алфавита, состоящего только из двух символов, что и реализуется, при хранении информации в памяти электронных устройств. Ячейка памяти в этом случае может находиться в одном из двух состояний, которые кодируются как 0 и 1. Информационная емкость такой ячейки равна 1 биту.

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием k в десятичную систему счисления

Число, записанное в позиционной системе счисления с любым основанием, переводится в десятичную систему счисления по правилу .

Если, например, 45₍₈₎ – число, записанное в восьмеричной системе счисления, то

45₍₈₎=4*8¹+5*8⁰=4*8+5*1=32+5=37₍₁₀₎

Число 203₍₅₎ записано в пятеричной системе счисления, тогда

203₍₅₎=2*5²+0*5¹+3*5⁰=2*25+0*5+3*1=50+0+3=53₍₁₀₎

Меняется только основание системы счисления, алгоритм остается неизменным.

Основание позиционной системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10₍₂₎ означает число 2₍₁₀₎, а в восьмеричной 10₍₈₎ означает число 8₍₁₀₎.

Чтобы легче осуществлять перевод из системы счисления по любому основанию в десятичную, следует для начала явно пронумеровать разряды исходного числа справа налево, начиная с 0.