Система счисления – совокупность приемов и правил однозначного обозначения чисел с помощью особых символов: 6, 1102, XI.
Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления.
Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.
Исторически первой системой счисления является односимвольная – использовалась только одна цифра:
•
••
•••
Известны два типа систем счисления:
· непозиционная
· позиционная
В непозиционной системе счисления значение каждой цифры в изображении числа не зависит от ее положения (позиции) в нем. Примером такой системы счисления является римская система счисления, использующая следующие цифры:
Римская система счисления является аддитивной – число в ней получается как результат сложения и вычитания базовых цифр:
В этих числах используются две цифры – I и V. Независимо от того, где они стоят в числах, они обозначают цифры 1 и 5, только в первом случае они складываются, а во втором – вычитаются.
Недостатки непозиционных систем счисления:
· большое количество цифр для изображения числа: MCMXCIII – 1993,
· сложность выполнения арифметических операций.
В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее позиции в нем:
354 = 3×100 + 5×10 + 4×1
В этой записи 3, 5 и 4 являются цифрами десятичной системы счисления, а 100, 10 и 1 – их веса в числе.
Количество цифр, используемых в конкретной системе счисления для изображения числа, называется основанием системы счисления.
В десятичной системе счисления, известной нам с детства, используется десять цифр, поэтому ее основание S=10:
354 = 3×102 + 5×101 + 4×100
Вес цифры в числе можно представить как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда числа:
100 вес разряда единиц – номер разряда единиц всегда равен нулю!
101 вес разряда десятков,
102 вес разряда сотен, и так далее.
Нумерация разрядов в целых числах идет справа налево, начиная с нуля. Самый правый разряд называется младшим разрядом числа, а самый левый – старшим.
Представим веса разрядов в виде последовательности чисел, начиная с разряда единиц:
1, 10, 100, 1000, 10000,…
Такая последовательность чисел называется базисом системы счисления. В традиционных системах счисления базис образуют члены геометрической прогрессии. В нетрадиционных системах счисления базис может быть другим:
Этим же способом любое двоичное число переводится в десятичную систему счисления.
Обратный перевод – из десятичной в двоичную систему счисления – осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание двоичной системы счисления 2 и считыванием остатков от деления справа налево:
11/2 = 5, остаток 1
5/2 =2, остаток 1
2/2 =1, остаток 0
1/2 = 0, остаток 1, получаем 10112.
Восьмеричная система счисления
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Основание S = 8
Базис – степени числа 8: 80, 81, 82, 83, … или 1, 8, 64, 512, …
Представим любое восьмеричное число через его цифры и веса разрядов:
Этим же способом любое восьмеричное число переводится в десятичную систему счисления.
Обратный перевод – из десятичной в восьмеричную систему счисления – осуществляется последовательным деление десятичного числа на основание восьмеричной системы счисления 8 и считыванием остатков от деления справа налево:
1914/8 = 239 остаток 2
239/8 = 29 остаток 7
29/8 = 3 остаток 5
3/8 = 0 остаток 3, получаем 35728.
Особый случай перевода – двоично-восьмеричный
Для перевода двоичного числа в восьмеричное необходимо:
1. разбить двоичное число справа налево по три цифры (недостающие слева дополнить нулями):
100110001012 = 010 011 000 1012
2. каждую тройку цифр представить числом в восьмеричной системе счисления:
Восьмеричная система счисления