Аттрактором называется множество, к которому стремится изображающая точка системы с течением времени (притягивающее множество).

Устойчивость состояния равновесия

Каждый имеет интуитивное представление об устойчивости. На рис. 2.3. в обоих положениях (а и б) шарик находится в равновесии, т.к. сумма сил, действующих на него, равна нулю.

Попытайтесь ответить на вопрос: «Какое из этих состояний равновесия устойчиво?»

Скорее всего, Вы дали правильный ответ. Сказать, как Вы догадались? Вы дали шарику малое отклонение от состояния равновесия. В случае (а) шарик вернулся. В случае (б) покинул состояние равновесия навсегда.

Устойчивое состояние равновесия можно определить так: если при достаточно малом отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки, то особая точка будет устойчивым состоянием равновесия,что соответствует устойчивому режиму функционирования системы.

Строгое математическое определение устойчивости состояния равновесия уравнения dx/dt = f(x) выглядит следующим образом:

Состояние равновесияустойчиво по Ляпунову, если задав сколь угодно малое положительное , всегда можно найти такое, что для ,если .

Иначе говоря, для устойчивогосостояния равновесия справедливо утверждение: если в момент времениотклонение от состояния равновесия мало (), то в любой последующий момент времени отклонение решения системы от состояния равновесия будет также мало: .

Другими словами: cтационарное состояние называется устойчивым, если малые отклонения не выводят систему слишком далеко из окрестности этого стационарного состояния. Пример — шарик в ямке (с трением или без трения).

Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малые отклонения от него со временем затухают. Пример — шарик в ямке в вязкой среде.

Стационарное состояние называется неустойчивым, если малые отклонения со временем увеличиваются. Пример: шарик на горке.

Устойчивое стационарное состояние представляет собой простейший тип аттрактора.

В нашем курсе мы рассмотрим следующие типы аттракторов:

* устойчивая точка покоя;

* предельный цикл — режим колебаний с постоянными периодом и амплитудой (начиная с размерности системы 2);