Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями вместимости.

Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

Рис. .Изменение уровня запаса во времени

Классическая статическая модель

Модель управления запасами простейшего типа характеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита.

На рисунке показано изменение уровня запаса во времени. Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна b. Наивысшего уровня запас достигается в момент поставки заказа размером у Уровень запаса достигает нуля спустя у/b единиц времени после получения заказа размером у.

Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать новые заказы. С другой стороны, с увеличением размера заказа уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже. Так как затраты зависят от частоты размещения заказов и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения соответствующей модели управления запасами.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и затраты на хранение единицы заказа в единицу времени равны h. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени TCU(y) как функцию от у можно представить в виде:

TCU(y) = . Продолжительность цикла движения заказа составляет t₀=y/b и средний уровень запаса равен y/2.

Оптимальное значение у получается в результате минимизации TCU(y) по у. Таким образов, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем: ,откуда оптимальное значение размера заказа определяется выражением: .Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у^* единиц продукции через каждые t₀^*=y^*/b единиц времени. Оптимальные затраты TCU(y^*) составляют.

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа. С точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t₀^* . Если это условие не выполняется, вычисляют эффективный срок выполнения заказов: ]

Не редко цена единицы продукции зависит от размера закупаемой партии. В таких случаях цены меняются скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.

Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равна с₁ при y<q и равна с₂ при y>=q, где с₁>c₂ и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты за цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должны включать издержки приобретения.

Суммарные затраты на единицу времени при y<q равны

.

При y>=q эти затраты составляют

.

Графики этих двух функций приведены на рисунке.

Рисунок: Графики функций TCU(y)

Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим через y_m размер заказа, при котором достигается минимум величин TCU₁ и TCU₂. Тогда . Из вида функции затрат TCU₁ и TCU₂, приведенных рисунке 7 следует, что оптимальный размер заказа y^* зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II и III находится точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения q₁(>y_m) из уравнения TCU₁(y_m)=TCU₂(q₁).

В результате оптимальный размер заказа y^* определяется следующим образом:

Эта модель предназначена для систем управления запасами, включающие n(>1) видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции; - необходимое пространство для хранения единицы iго товара; - объем заказа iго вида. Ограничение на потребность в складском помещении принимают вид .

Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется мгновенно и скидки цен отсутствуют, дефицит не допускается. Пусть b_i, K_i и h_i – интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-го вида продукции соответственно. Рассматриваемая задача имеет вид: минимизировать при для всех i.

Общее решение этой задачи находится методом множителей Лагранжа. Однако, прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действуют ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничений на площадь склада для решения неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточно, и им можно пренебречь. Ограничение действует, если оно не выполняется для значений . В таком случае нужно найти новое оптимальное значение y_i, удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида , где l(<0) – множитель Лагранжа.

Оптимальные значения y_i и l можно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает , .

Из второго уравнения следует, что значение должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что .

Заметим, что зависит от оптимального значения l^* множителя l. Кроме того, при l^*=0 значение является решением задачи без ограничения.

Значение l^* можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации l<0, то при последовательной проверке отрицательных значений l найденное значение l^* будет одновременно определять значения y^*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде равенства. Таким образом, в результате определения l^* автоматически получаются значения y^* .

9. Динамическая модель управления запасами при отсутствии затрат на
оформление.

Рассматривается задача календарного планирования производства, рассчитанная на n равных периодов. Возможные объемы производства на каждый из периодов ограничены, но могут включать несколько уровней. На протяжении текущего периода могут производится изделия для последующих, но в этом случае необходимо учитывать затраты на хранение.

Основные предположения модели:

1) Отсутствие затрат на оформление заказа

2) Недопустимость дефицита

3) Стоимость производства единицы продукции в любой период либо является постоянной, либо имеет возрастающие предельные затраты, т.е. функция затрат является выпуклой

4) Стоимость хранения единицы продукции в каждый период является постоянной величиной

Предположение об отсутствии дефицита означает, что спрос на продукцию в текущем периоде не может быть удовлетворен за счет ее производства в последнем. Т.е. суммарное производство в текущем периоде должно быть удовлетворено спросу за то же время.

Рассмотрим задачу n-этапного планирования. Можно сформулировать в виде транспортной задачи с kn-пунктами n-пунктами потребления. К – количество возможных уровней производства. Производственные возможности каждого из kn пунктов производства определяют объемы поставок . Объемы потребления определяются объемом спроса для каждого периода.

Себестоимость перевозки от пункта от пункта производства до пунукта назначения определяется суммой затрат используемого производственного процесса и стоимостью хранения единицы продукции.

Оптимальное решение такой транспортной задачи определит объемы производственной продукции для каждого производственного уровня, который минимизирует суммарные затраты на производство и хранение.