Пример 1.

В этой задаче используются два критерия оптимальности и две управляемые независимые переменные

Решение.

Первая фаза решения состоит в преобразовании исходной постановки задачи:

с учетом ограничения

Построим функцию Лагранжа:

Подставляя в нее выражения для f ₁ и f₂ получим

здесь —неопределенный множитель Лагранжа.

Найдем частные производные от функции Лагранжа по всем аргументам и приравняем их к нулю:

Решив систему, получим соотношение

Из выражения для получим соот­ношение

2 3 4 5 6 7 -'•t

Рис. З. Неулучшаемые (Парето-оптимальные) решения в пространстве управляемых перемен­ных

Рис. 4. Эффективное множество компромиссов в це­левом пространстве

На рис. 3 изображено множество компромиссов. Оно пред­ставляет собой отрезок прямой линии. Линии постоянного уровня каждого из критериев оптимальности являются окружностями. Отметим, что полученное решение не зависит от введенного ограничения e.

На рис. 4 показано множество компромиссов в целевом пространстве.

Численные результаты решения этой задачи представлены в табл. 1.

Таблица 1

x1	x2	f1	f2
2,0	4,00	5,00	58,00	0,00
2,5	4,75	5,81	45,81	0,14
3,0	5,50	8,25	35,25	0,33
3,5	6,25	12,31	26,31	0,60
4,0	7,00	18,00	19.00	1,0
4,5	7,75	25,31	13,31	1,67
5,0	8,50	34,25	9,25	3,00
5,5	9,25	44,81	6,81	7,00
6,0	10,00	57,00	6,00

Множитель Лагранжа является функцией f₁ и f_{2 .}Это, в частности, видно на рис. 5.

Рис. 5. Множитель Лагранжа как функция крите­рия оптимальности f₂

В данном простом примере решение получено в замкну­той форме. В задачах большой размерности, когда получить замкнутую форму невозможно, решение ищут путем варьиро­вания е.

Перейдем теперь к более сложной задаче, в которой рас­сматриваются две управляемые переменные и три локальных критерия оптимальности.