Использование множителей Лагранжа.

Схемы компромиссов. Принцип равномерности.

В общем случае он состоит в стремлении к равномерному повышению качества оптимизируемого объекта по всем част­ным нормированным критериям .

Этот принцип имеет несколько разновидностей:

а. Принцип равенства нормированных критериев. По этому принципу наилучшим компромиссным решением х* является такое, при котором достигается равенство всех нормированных частных критериев, т. е. f1(х*)= f2(х*)=....= fn(х*)

Иногда этот принцип является чрезмерно «жестким». Он может приводить к ситуациям, когда решение задачи полу­чается вне зоны компромисса или отсутствует.

б. Принцип квазиравенства.

По этому принципу идея равенств частных критериев реализуется приближенно с точностью до некоторой ве­личины е. Решение считается наилучшим, если значения от­

дельных нормированных частных критериев отличаются друг от друга не более, чем на е.

в. Принцип «справедливой уступки».

По этому принципу различают абсолютную и относитель­ную уступки. Принцип гласит: справедливым считается такой компромисс, при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного уровня повышения других критериев. Аналогично формулируется принцип относительно «справедливой уступки».

2. Принцип последовательной «уступки».

Предположим, что частные критерии оптимальности ранжированы в порядке убывания их важности. Для опреде­ленности будем считать, что каждый из них нужно максими­зировать. Процедура построения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала ищется решение, обращаю­щее в максимум главный частный критерий оптимальности f1. Затем назначается, исходя из практических соображений и

точности, с которой известны исходные данные, некоторая «уступка» Df1, которую можно допустить для того, чтобы обратить в максимум второй критерий f2.

Далее налагаем на критерий fi ограничение, чтобы он был не меньше, чем (f1( х*)—Df1. При этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум критерий f2.

Затем назначается уступка для критерия f2, и т,д.При таком способе нахождения компромиссного решения сразу видно, ценой какой «уступки» в одном частном крите­рии приобретается выигрыш в другом. На практике используются и некоторые другие схемы компромиссов.

При решении задач векторной оптимизации обычно вна­чале ищется множество эффективных неулучшаемых реше­ний (множество Парето). Затем для принятия окончатель­ного решения используется та или иная схема компромисса. Сложность решения задачи во многом зависит от того, известна ли аналитическая зависимость обобщенного крите­рия оптимальности от частных критериев или она должна быть найдена с помощью численного эксперимента на ЭВМ. Если функциональная зависимость обобщенного критерия от частных критериев установлена, то для решения задачи можно использовать метод неопределенных множителей Ла­гранжа. Рассмотрим следующую задачу векторной оптимизации:

fiopt=min fi(x), i=1,k. хÎX.

Метод е-ограничений [21] предполагает видоизменение постановки этой задачи: f1opt=min f1(x),с учетом ограничений на остальные критерии оптимальности: ei³fi(x),

где ei — максимальные допустимые (пороговые) значения критериев оптимальности, кроме первого.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

где — неопределенные множители Лагранжа.

Рассмотрим два примера использования этого метода [21].