Рис 4.8. Полная формальная модель деятельности человека
Однако при декомпозиции необходимо учитывать и другой критерий - простоту, который требует сокращения размеров древовидной структуры. Таким образом, при декомпозиции должен быть принят некий компромисс между полнотой и простотой, который может быть достигнут в том случае, если в структурную модель идеальную модель разрабатываемого изделия. Реальное техническое изделие можно рассматривать как материальную модель (аналог) созданной авторами идеальной модели
включаются только элементы, существенные по отношению к цели анализа.
Число уровней декомпозиции (уровней древовидной структуры) выбирается из следующих соображений. Декомпозиция по каждой из ветвей древовидной структуры ведется до тех пор, пока не приведет к получению элементов системы, не требующих дальнейшего разложения. Такие составляющие называются элементарными. Отметим, что понятие элементарности составляющей системы должно быть конкретизировано в каждом рассматриваемом случае отдельно. При этом могут быть использованы как формализованные (с помощью критериев), так и неформализованные (с помощью экспертов) способы. Например, в некоторых случаях многомерную задачу механики сплошной среды удается разложить на последовательность одномерных задач, имеющих простое (аналитическое) решение. Тогда каждую из этих одномерных задач можно считать элементарной частью исходной системы.
Часть системы, которую нельзя считать элементарной на основании выбранных критериев, подлежит дальнейшей декомпозиции. При этом могут использоваться различные фреймы. Если исследователь «перебрал» все фреймы, но не достиг элементарности на какой-либо ветви древовидной структуры, то вводятся новые элементы в модель, взятую в качестве основания, и декомпозиция продолжается по ним. Подробная блок-схема алгоритма декомпозиции приведена в [83].
Следует отметить, что в результате декомпозиции будет реализован лишь первый этап структурного моделирования, а именно — этап анализа. После этого этапа удается разделить исследуемую систему на отдельные элементы (или исходную задачу — на более простые подзадачи). Однако, как было отмечено выше, на поведение каждого элемента нужно смотреть с точки зрения целей всей системы. Другими словами полученная совокупность элементов кроме внешней целостности т.е. определенной обособленности от окружающей среды) должна обладать и внутренней целостностью.
Внешняя целостность хорошо описывается моделью «черного ящика», а внутренняя — связана с моделью структуры системы, т.е. установлением отношений между элементами. Для этого используется операция агрегирования — объединение нескольких элементов в единое целое. Результатом агрегирования является система, которую называют агрегатом. Свойства агрегата не являются только совокупностью свойств его отдельных элементов. Агрегат может обладать такими свойствами, которых нет ни у одного из его элементов, взятых в отдельности. Другими словами, объединение элементов в систему влечет появление нового качества, которое не могло появиться без этого объединения. Такое «внезапное» появление новых качеств у агрегата получило название эмерджентности (от англ. emergent — внезапно возникающий). Следует отметить, что новые свойства возникают благодаря конкретным связям между элементами. Другие связи могут дать другие новые свойства агрегата.
Хорошей иллюстрацией свойства эмерджентности является пример, предложенный М. Арбибом [83]. Пусть имеется некоторый цифровой автомат S, увеличивающий на 1 любое целое число, поступающее на его вход. При последовательном соединении двух автоматов в цепочку это свойство не изменяется. Если же соединить два таких автомата последовательно в кольцо (рис. 4.10), то в полученном агрегате обнаружится новое свойство: он генерирует возрастающие последовательности на выходах А и В, причем одна последовательность состоит из четных, а другая — из нечетных чисел. Другим ярким подтверждением свойства эмерджентности может служить пример из материаловедения. Известно, что тип кристаллической решетки (способ соединения атомов) определяет твердость материала. При этом твердость получаемого агрегата, состоящего из одинаковых элементов, может различаться в десятки тысяч раз (графит и алмаз).
Возникновение качественно новых свойств, при агрегировании есть частное, но яркое проявление одного из законов диалектики — закона перехода количества в качество. При этом считается, что чем больше свойства агрегата отличаются от свойств его элементов, тем выше организованность системы. Кибернетик У. Эшби доказал, что у системы тем больше возможностей в выборе поведения, чем сильнее степень согласованности поведения ее элементов. Высшая степень проявления согласованности поведения элементов системы — самоорганизация системы, изучением которой занимается относительно молодая междисциплинарная область знаний — синергетика [81] (от греч. synergos — вместе действующий).
Таким образом, как следует из вышеизложенного, при агрегировании большое значение имеет установление связей между элементами, т.е. выбор модели структуры. Значит, в самом общем виде агрегирование можно определить как установление отношений на заданном множестве элементов. Такое установление отношений может быть проведено различными способами: построением математических зависимостей, структурированием, статистической обработкой, классификацией и т.п. В результате получаются различные агрегаты, основными из которых являются следующие [83]: конфигуратор, классификатор, оператор, статистик и структура. Рассмотрим эти агрегаты более подробно.
Конфигуратором называется такой агрегат, который состоит из качественно различных языков описания исследуемого объекта и обладает тем свойством, что число этих языков минимально, но необходимо для выполнения заданной цели. Следует отметить, что конфигуратор является содержательной моделью высшего возможного уровня. Перечислив языки, на которых будет вестись описание системы, мы тем самым определяем тип системы и ее основные свойства.
Например, в радиотехнике для описания одного и того же прибора используется следующий конфигуратор: блок-схема, принципиальная схема и монтажная схема. Этот конфигуратор полностью описывает рабочие характеристики прибора. Однако если кроме цели производства радиоаппаратуры ставится цель ее сбыта, то в конфигуратор необходимо добавить язык рекламы (маркетинг, дизайн, цена и т.п.).
В инженерной графике для описания поверхности любого трехмерного тела в качестве конфигуратора используются совокупность трех ортогональных проекций. Число их нельзя уменьшить и нецелесообразно увеличивать.
А какой конфигуратор применяется при математическом моделировании? Выбор языка зависит от вида модели. Понятно, что основной язык для математической модели — язык математических формул. Однако, как было отмечено в гл. 1 и 2, важными этапами математического моделирования являются содержательная и концептуальная постановки задачи. На этапе содержательной постановки осуществляется словесная постановка задачи на том языке, на котором она формулируется заказчиком. На этапе концептуальной постановки выполняется запись задачи на языке тех областей знаний, которые используются при моделировании рассматриваемого объекта. Поэтому конфигуратором в данном случае можно считать содержательную, концептуальную и математическую постановки задачи.
В качестве классификатора выступает агрегат, устанавливающий отношения эквивалентности между элементами системы, т.е. описывающий условия образования классов.
Говорят, что на множестве А определено отношение R, если по некоторому правилу составлены упорядоченные пары элементов, находящихся в отношении. При этом пишут aRb, a,be А.
Отношение R на А, удовлетворяющее аксиомам:
1) a R а (элемент а эквивалентен самому себе),
2) aRb═›bRa (если элемент а эквивалентен элементу Ь, то эле- мент b эквивалентен элементу а),
3) a R b, bRc═›aRc (если элемент а эквивалентен элементу b
и элемент b эквивалентен элементу с , то элемент а эквивалентен элементу с),
называется отношением эквивалентности. Оно разбивает множество элементов системы на классы.
Следующим типом агрегата является оператор, который ставит в соответствие некоторому набору отдельных элементов один элемент.
Наиболее распространенный в математическом моделировании вид оператора — функция. Этот вид оператора появляется, если агрегируемые элементы измеряются в числовых шкалах. В таком случае можно задать отношение на множестве элементов в виде числовой функции многих переменных , которая и является агрегатом, т.е.
где Rn – n-мерное евклидово пространство; R — вещественная ось. Здесь элементом отображаемого пространства Rn является n-мерный вектор переменных системы x = (x1, x2,,хп), характеризующий ее поведение.
Приведенный вид функции — один из простейших. В общем случае области определения и значений функции могут относится к более сложным пространствам и множествам. Конкретное задание функции fix вязано с построением математической модели рассматриваемой системы. Поэтому на выбор функции накладываются ограничения,
вытекающие из содержательной постановки задачи, т.е. этот выбор не является свободным. В тех же (достаточно редких) случаях, когда оператор-функция является вполне адекватной математической моделью всей системы, свобода выбора функции, агрегирующей набор внутренних переменных, вообще отсутствует. Такой случай имеет место, например, когда закономерности природы удается с достаточной степенью адекватности отобразить безразмерными степенными одночленами физических размерных величин. При этом можно утверждать, что если удалось построить безразмерный степенной одночлен из размерных физических величин, образующих конфигуратор определенного явления, то установлен физический закон данного явления. Это легко можно показать на примере второго закона Ньютона, описывающего поступательное движение твердого тела. Безразмерный одночлен здесь имеет вид, а иногда практически невозможно. Гораздо проще установить функциональные зависимости между отдельными элементами системы. В этом случае оператор будет представлять собой некоторую (часто нелинейную) систему уравнений. Как правило, внутренними переменными системы являются не числа, а функции одного или нескольких аргументов. Тогда выходными параметрами могут выступать также функции, или функционалы. Например, для динамических систем, описывающих процессы и явления, изменяющиеся во времени, связь между внутренними параметрами x(t) и выходными параметрами системы y(t) в операторной форме имеют вид
где оператор f обычно представляет собой систему дифференциальных уравнений, Т— время протекания процесса. Пример построения подобного оператора для механической системы, состоящей из нескольких тел, будет приведен ниже.
При математическом моделировании сложных систем построить оператор/бывает совсем не просто. Это связано со многими причинами. Основной из этих причин можно считать недостаток информации о характере и механизмах взаимодействия между отдельными элементами системы. Например, эти взаимодействия могут носить случайный характер, закон которого нам неизвестен. В этом случае говорят, что моделирование ведется в условиях неопределенности, а оператор/может быть найден только с некоторой ограниченной точностью, например с точностью до конечного числа параметров o=(o1,o2,..on):
Обычно считается, что параметры 0 носят случайный характер или могут быть определены в ходе самого моделирования с помощью методов идентификации [57]. В этом случае используются системы с обратной связью [83]. (Более подробно о способах моделирования в условиях неопределенности будет сказано в следующей главе.) Назовем оператор, который задается с помощью алгоритма, реализующего некоторый набор правил, имитатором. Примеры построения агрегата-имитатора приведены в гл. 7.
Отдельно при агрегировании рассматривается ситуация, когда все параметры, описывающие поведение элементов системы, являются случайными величинами. В этом случае вводится понятие агрегата-статистика, определяющего отношения на множестве.
Глава 4
4 МОДЕЛИРОВАНИЕ В УЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
Нет ничего более противного разуму и природе, чем случайность.
Цицерон
Развитие современных технологий во всех сферах деятельности человека и разработка соответствующих моделей приводят к необходимости учета максимально возможного количества информации об исследуемом объекте. При этом вопросы моделирования сложных процессов и явлений чаще всего формулируются и обсуждаются на профессиональном языке (искусственном или подмножестве естественного), отражающем специфику области исследования. Следствием этого является использование в процессе моделирования качественных элементов: описаний, понятий и отношений с неопределенными или нечеткими границами, высказываний с многозначной шкалой истинности и т.д.
В тех случаях, когда информация существенно неопределенная, задание строгих границ «волевым» порядком или искусственное введение однозначности означает не что иное, как огрубление исходных данных, и может приводить к получению пусть четкого, но неверного результата. Исследование и учет однозначности (определенности) или неоднозначности (неопределенности) всех параметров и отношений описывающих исследуемое явление однозначно определенные (детерминированные) и находящиеся в условиях неопределенности.
К первой группе относят те закономерности, которые по заданным с определенной точностью характеристикам воздействий позволяют установить вполне определенный (детерминированный) отклик (реакцию) исследуемого объекта. Например, материальное тело падает с некоторой высоты. При заданной точности определения начальных условий и действующих на тело внешних сил можно однозначно, с определенной точностью установить его скорость при соприкосновении с Землей, время полета и т.д. С математической точки зрения эти закономерности описываются на основе аксиом традиционной математикой с использованием вполне определенных величин.
Вторая группа закономерностей описывает случайные события (такие, которые при заданном комплексе условий могут протекатьпо-разному при одних и тех же условиях)."Например, при бросании игрального кубика нельзя заранее однозначно сказать, какая цифра выпадет. Если попытаться учесть природу этих закономерностей как явлений, находящихся в условиях неопределенности, то надо иметь в виду, что описание этой неопределенности может быть разным в зависимости от количества и качества имеющейся информации.
Часто граница, отделяющая случайное событие от неслучайного, очень размытая. Одна из концепций случайности (которая преобладала до начала XX столетия) состояла в том, что если при описании исследуемого объекта предусмотреть все связанные с ним «детали», то никакой случайности не будет. Однако в настоящее время принято придерживаться другой концепции. Вернемся к примеру с падением материального тела. При полете последнего необходимо учитывать температуру окружающей среды, скорость ветра, положение относительно поверхности Земли и другие факторы, которые имеют неоднозначный характер и могут, в свою очередь, влиять друг на друга. Поэтому в «чистом виде» однозначно определенных процессов (явлений), наверное, нет, т.е. при описании достаточно сложных процессов закономерности всегда носят стохастический характер.
Все неверно, — сказала Гусеница.
— Да, не совсем верно, — робко согласилась Алиса, — некоторые слова не те.
— Все не так, от самого начала и до самого конца, — строго проговорила Гусеница.
Льюис Кэррол
При решении задач математического моделирования задачи проектирования, описания различных технологических процессов, выбора оптимальных параметров и т.д. уже на стадии концептуальной постановки необходимо задуматься над тем, насколько однозначно определены параметры, в терминах которых осуществляется математическое описание объекта моделирования. На этом этапе необходимо определить для каждого параметра, можно ли считать его однозначно определенным или ему присуща некоторая неопределенность. Причем неопределенными могут быть не только параметры, но и связи между ними. Неопределенность понимается в том смысле, что соответствующие характеристики рассматриваемой системы находятся в условиях приближения и неполноты информации. Эта неопределенность может быть связана, с одной стороны, с тем, что параметры могут изменяться случайным образом, а с другой стороны, с тем, что они могут адаптироваться (изменяться, устанавливаться) в процессе функционирования исследуемой системы.
К наиболее значимым причинам появления неопределенности можно отнести следующие:
> показатели системы практически всегда зависят от большого количества различных факторов, причем часть из них может быть даже неизвестна исследователю;
> при построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных (по мнению субъекта или в силу объективных обстоятельств) переменных, что, конечно, приводит к огрублению модели;
> математические погрешности, возникающие при линеаризации модели или использовании разложения в ряд при ограничении на число членов ряда; ошибки измерений и погрешности при проведении эксперимента и т.п.
В общем случае все причины возникновения неопределенности можно разбить на две основные группы: субъективныеи объективные. Субъективные причины обусловлены некоторыми частными, нерегулярно повторяющимися явлениями, поэтому их достаточно сложно учесть при решении прикладных задач. Объективные причины чаще всего связаны с физическими особенностями исследуемого явления.
Например, если рассматривать задачу исследования некоторого технологического процесса, то к субъективным причинам можно отнести квалификацию работников, проводящих и регламентирующих исследуемый процесс, их навыки, реакцию, время адаптации и т.д. К объективным причинам появления неопределенности для такого типа задач можно отнести:
> физико-механические свойства поставляемых материалов (в частности, предел текучести, модуль Юнга, коэффициенты теплопроводности, теплоемкости, теплоотдачи и т.д.);
> анизотропию свойств;
> поля остаточных напряжений;
> геометрические характеристики заготовок (форма и размеры);
> характер износа инструмента и т.д.
В свою очередь каждая из указанных объективных причин появления неопределенности может быть обусловлена целым рядом предпосылок. Так, неоднородность свойств материала, с одной стороны, определяется как неоднородность по объему, обусловленная особенностями технологического процесса (отливки, прокат, армированные и порошковые композиты и прочие), а с другой — как неоднородность партий поставляемых заготовок. При решении прикладных задач для устранения неопределенностей обычно вводится предположение о принятии в качестве физико-механических характеристик некоторых предельных или средних значений (из возможных диапазонов). На наш взгляд, подобное предположение является весьма спорным в силу нелинейности исследуемых процессов и сложного характера взаимодействия отдельных частей объекта между собой. Поэтому возникает необходимость учета распределения соответствующей неопределенной величины.
В зависимости от полноты описания неопределенность можно разбить на три основные группы: неизвестность, недостоверность и неоднозначность [82]. Рассмотрим группы описания неопределенности более подробно (рис. 5.1).
Неизвестность — это начальная стадия описания неопределенности, при которой информация полностью отсутствует.
Недостоверность — это вторая стадия описания неопределенности, которая для различных стадий сбора информации может
классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределённость и неадекватность. Неполнота характеризуется тем, что собрана не вся возможная информация; недостаточность — собрана не вся необходимая информация. Недоопределённость — для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат [78]; неадекватность — ряд элементов исследуемого объекта описан по аналогии с уже имеющимися описаниями подобных элементов, т.е. имеет место так называемое «замещающее» описание, которое не всегда удовлетворяет целям исследования.
Дальнейший анализ неопределенности, учет новых факторов, определяющих исследуемое явление, может привести либо к устранению неопределенности (все элементы описаны однозначно), либо к неоднозначности.
Неоднозначность — это конечная (по полноте возможного описания) степень неопределенности, когда вся возможная информация собрана, но полностью необходимое описание не получилось.
Причины возникновения неоднозначности могут быть лингвистические и физические на рис.5
Физическая неопределённость связана либо с наличием нескользких возможностей, каждая из которых случайным образом может стать реальностью, либо с неточностью вычислений или измерений. Таким образом, физическая неопределенность связана или с физической сущностью исследуемого явления, или с его измеряемыми проявлениями.
Лингвистическая неопределенность связана с использованием некоторого естественного языка. Она порождается, с одной стороны, множественностью значений слов (понятий и отношений) — полисемией (греч. polysema — многозначность), с другой - неоднозначностью смысла фраз.
Можно выделить два вида полисемии: омонимию и нечеткость.
Омонимия (греч. homonymia — одноименность) характеризуется тем, что одним и тем же словом можно характеризовать различные физические объекты. Например: коса — это вид побережья, инструмент или прическа. Если же объекты описания сходны по сути, но описывают некоторое множество понятий, то ситуацию относят к нечеткости. Например, понятие несколько шагов. Это может быть два шага, три шага, четыре шага и т.п.
Рассматривая источники неоднозначности смысла фраз, можно выделить синтаксическую, семантическую и прагматическую неоднозначность. При синтаксической неопределенности уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. Пример: «казнить нельзя помиловать* — «казнить, нельзя помиловать» или «казнить нельзя, помиловать». Семантическая неопределенность бывает поверхностная и глубинная. В первом случае отдельные слова понятны, но неясен смысл фразы («голубые зеленые мысли яростно спят»), во втором случае непонятны и все отдельные слова («глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокренка»). Прагматическая неопределенность связана с совместным проявлением синтаксической и семантической неопределенностей. Она чаще всего проявляется при работе с незнакомыми объектами и, возможно, в незнакомой (например, языковой) среде [87].
Как уже отмечалось, на стадии концептуальной постановки задачи необходим детальный анализ степени неопределенности всех характеристик системы и связей между ними. При переходе к математической постановке задачи перед исследователем встают непростые вопросы: каким типом переменных описать те или иные параметры и как описать связь между этими параметрами?
Если цели исследования предполагают однозначное описание явления (процесса) или если параметры системы и связи между ними определены единственно возможным образом, то в этом случае применяется четкое описание, т.е. все характеристики считаются детерминированными и связи между соответствующими четкими переменными — однозначными. В противном случае в зависимости от целей исследования и требуемой полноты описания можно использовать различные математические подходы представления неопределенностей. Отметим, что усложнение модели (например, иерархичность) также может привести к необходимости использования других типов описания переменных, характеризующих исследуемое явление.
Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально (рис. 5.3). Отмеченные формы описания перечислены по возрастанию степени неопределенности. Рассмотрим физический смысл этих неопределенностей.
Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры имеют вероятностный (случайный) характер.
Рис. 5.3. Формы описания неопределенности
При этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров. Стохастическим описанием занимается теория вероятностей и теория случайных процессов [28, 49].
Статистическое описание является, по существу, частным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки каких-либо характеристик случайной величины или наборы значений некоторых случайных параметров. Статистическим описанием занимается математическая статистика [89].
При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующихся той или иной степенью принадлежности (с помощью так называемой функции принадлежности) объекту, описываемому этим нечетким множеством [39,82]. Функция принадлежности может принимать значения от 1 (полная принадлежность) до 0 (полная непринадлежность). Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько полно элемент (параметр) соответствует понятию, смысл которого описывается нечетким множеством. Этим описанием занимается теория нечетких множеств [39,82].
Интервальное описание можно использовать, когда неопределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границами), причем параметр может принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры. Интервальное описание является предметом исследования интервальной математики [4].
Следует отметить, что зависимость математического подхода к описанию переменных от полноты имеющейся информации весьма условна. Так, при численной реализации тех или иных алгоритмов моделей на ЭВМ даже для детерминированных переменных (неявным образом) используется аппарат интервальных вычислений, так как расчеты на ЭВМ ведутся с интервальными величинами. Поэтому считать, что интервальное описание переменных «менее определенное», чем стохастическое, наверное, нельзя. Однако с этим утверждением можно согласиться, если интервальное описание вводится уже на стадии концептуальной и математической постановок задач.
Многообразие форм описания неопределенностей приводит к различным особенностям постановки и решения соответствующих задач.
