Классификация математических моделей в зависимости
Классификация математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования
В качестве объекта моделирования может выступать как некоторое материальное тело или конструкция, так и природный, технологический или социальный процесс либо явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы (рис. 1.4). В первом случае при моделировании не рассматривается внутреннее строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. В качестве примера подобного объекта можно привести материальную точку в классической механике.
Рис. 1.4. Классификация объектов моделирования
Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, в определенном смысле обособленная от окружающей среды и взаимодействующая с ней как целое.
Для сложных систем характерно наличие большого числа взаимно связанных, взаимодействующих между собой элементов. При этом связь между элементами А и В системы может отличаться от связи между элементами В иА.
Если система имеет N элементов и каждый элемент связан с каждым, то общее число связей равно N(N— 1). Если все TV элементов имеют по М состояний, то для такой системы общее
число состояний S равно MN. Например, пусть некоторая электронная система (рис. 1.5) состоит из трех блоков (N= 3) и каждый блок может находиться в двух состояниях (М = 2, например, включен и выключен). Для подобной системы имеем 5= 23 = 8 состояний. Максимальное число связей в подобной системе равно 6. Если поведение системы описывается процессом перехода блока из одного состояния в другое, то общее число возможных переходов равно 52. Для рассматриваемого примера число сценариев возможного поведения системы равно 5=82 = 64.
Поведение системы быстро усложняется с ростом числа ее элементов системы. Так, для системы из 10 элементов при М— 2 число состояний 5= 1024, а число сценариев равно 1 048 576. Данное обстоятельство, с одной стороны, говорит о сложности систем и многовариантности их поведения. С другой стороны, следует ожидать наличия больших трудностей, возникающих при изучении и моделировании систем.
Конечно, деление объектов исследования на «простые» и «сложные» условно. Поскольку для любых известных процессов, явлений, материальных тел невозможно выделить их «элементарные кирпичики», «атомы», то любой объект исследования можно считать бесконечно сложным. Упрощение его строения при разработке модели выполняется в результате отбрасывания малозначимых, несущественных для достижения поставленных на данный момент целей исследования связей между составляющими объект элементами. При изменении целей исследования или повышении требований к точности и глубине модели приходится, как правило, пересматривать уровень детализации объекта.
Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называются структурными. Более подробно модели подобного типа будут рассмотрены в гл. 4.
Среди структурных динамических систем выделяют в отдельный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состояний. Число связей между элементами также предполагается конечным. Моделирование взаимодействий элементов внутри системы осуществляется f помощью некоторого алгоритма, реализуемого обычно с использованием ЭВМ. Для моделирования на ЭВМ регионального времени вводится понятие системного времени. В качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы модели любого типа. Модели имитационного типа более подробно рассмотрены в гл. 7.
Как правило, взаимодействие внешней среды со сложной системой полностью проследить не удается, что приводит к неопределённости внешних воздействий и, как следствие, неоднозначности в поведении самой системы. Наличие подобной неопределенности является характерной особенностью сложных систем.
Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений — алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнение (ИДУ) и др. (рис. 1.6).
Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров Yот значений входных параметров X, то математическая модель называется линейной (рис. 1.7). Линейные модели более просты для анализа. Например, из свойства линейности следует свойство суперпозиции решений, т.е. если известны решения У1 при Х1и У2 при Х2 то решение для выходных параметров при Х=Х1+Х2 есть У= У1+У2.
Предельные значения У для линейных моделей достигаются, как правило, на границах областей допустимых значений входных параметров.
Исторически первыми стали разрабатываться и исследоваться именно линейные математические модели. I Область применения подобных моделей очень широка. Она охватывает классическую механику, электродинамику, аналитическую химию и биологию. Методы их построения, разрабатывавшиеся в течение столетий, обладают большой общностью и эффективностью.
Линейное поведение свойственно относительно простым объектам. Системам, как правило, присуще нелинейное многовариантное поведение (рис. 1.8).
В настоящее время все чаще возникает потребность не только в повышении точности моделирования, но и в создании качественно новых моделей, учитывающих нелинейность поведения реальных объектов исследования. Анализ подобных моделей намного сложнее, чем линейных, причем разработка методики и общих подходов к исследованию в настоящее время далека от завершения. Являясь более богатым и сложным, мир нелинейных моделей представляется для современной науки более перспективным в плане открытия новых закономерностей и описания сложных явлений. Например, такие, явления; как солитоны и хаос (см. гл. 6), нельзя с достаточной степенью адекватности описать в рамках традиционных линейных(моделей. Методы исследования нелинейных моделей в настоящее время быстро прогрессируют, складываясь в новые научные направления. К таким относительно новым направлениям можно отнести, например, синергетику - науку о сложных самоорганизующихся системах.
В зависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простые и сложные.
В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров У от входных X, модель будем называть простой.
Простые модели чаще всего являются результатом обобщения и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений за исследуемым объектом или явлением. На основании анализа таких данных выдвигается гипотеза о возможной функциональной связи входных и выходных параметров. После этого гипотеза проверяется на имеющемся экспериментальном материале, уточняется степень ее адекватности, т.е. степень соответствия результатов моделирования, полученных с применением данной гипотезы, имеющимся знаниям об исследуемом объекте. Если результаты проверки неудовлетворительны, то принятая гипотеза отвергается и заменяется новой. Процесс повторяется до получения желаемой степени соответствия результатов эксперимента и модели.
В качестве примеров простых моделей можно привести многие законы физики (закон всемирного тяготения, закон Ома, закон Гука, закон трения Амонтона—Кулона), а также все эмпирические, т.е. полученные из опыта, алгебраические зависимости между входными и выходными параметрами. Так, в теории резания металлов очень часто используются соотношения, ставящие мя и стоимость обработки детали на станке в зависимость от скоростей ее вращения (скорости резания) и осевого перемещения (скорости подачи) резца.
Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как своего исследования требует применения довольно сложных математических методов. Однако в двух случаях она может быть сведена к простым:
1) если полученная для подобной модели система математических соотношений может быть разрешена аналитически;
2) если результаты вычислительных экспериментов со сложной моделью аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью. В настоящее время известно достаточно большое число подходов и методов аппроксимации (например, метод наименьших квадратов или метод планирования экспериментов). На практике довольно часто возникают ситуации, когда удовлетворительное описание свойств и поведения объекта моделирования (как правило, сложной системы) не удается выполнить с помощью математических соотношений. Однако в большинстве случаев удается построить некоторый имитатор поведения и свойств такого объекта с помощью алгоритма, который можно считать оператором модели?
Например, если в результате наблюдения за объектом получена таблица соответствия между входными Х ивыходными У, значениями параметров, то определить оператор А,позволяющий получить «выход» по заданному «входу», зачастую бывает проще с помощью алгоритма.
Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели (рис. 1.9)
В общем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств:
· совокупность входных (управляемых) воздействий на объект ( Ωх);
· совокупность воздействий внешней среды неуправляемых (Ωе);
· совокупность внутренних (собственных) параметров объекта (Qİ);
· совокупность выходных характеристик (Qу).
Например, при моделировании движения твердого тела в атмосфере в поле сил тяжести входными параметрами могут быть начальное положение и начальная скорость точки, принятой за полюс, а также угловая скорость в момент времени t = 0. Сила сопротивления и сила тяжести характеризуют воздействие внешней среды. Масса тела и его форма являются собственными параметрами тела. Координаты и скорости точек тела (при t > 0) относятся к выходным параметрам.
В то же время отнесение параметров к входным или выходным зависит от постановки конкретной задачи. Например, в приведенном примере можно переформулировать задачу, сделав ее обратной к исходной: определить начальное положение и скорости (линейную скорость полюса и угловую скорость тела) по заданному положению и скоростям в момент времени t1> 0. Понятно, что в данном случае входные и выходные параметры меняются местами,
Входные параметры X, параметры, описывающие воздействие внешней среды Е и внутренние (собственные) характеристики объекта относят обычно к независимым {экзогенным) величинам. Выгодные параметры Y— зависимые (эндогенные) величины.
В общем случае оператор модели А преобразует экзогенные параметры в эндогенные А: {X, Е, I}-► Y.Следует отметить, что, введенные здесь внутренние характеристики, являющиеся независимыми (от внешних воздействий) величинами, не следует смешивать с так называемыми внутренними переменными, широко используемыми в механике сплошных сред, термодинамике и других естественнонаучных дисциплинах. К таким внутренним переменным относится, например, плотность дислокаций в моделях физики твердого тела и мезомеханики, которая, безусловно, зависит от внешних воздействий.
Количество параметров всех типов в математических моделях, как правило, конечно (хотя параметры или функции могут принадлежать любому бесконечномерному функциональному пространству). При этом каждый из параметров может иметь различную «математическую природу»: быть постоянной величиной или функцией, скаляром или вектором (или тензором второго, третьего и выше рангов), четким или нечетким множеством и т.д. В математических моделях, рассматриваемых в естественных науках, наиболее распространенными являются параметры, являющиеся тензор-значными функциями (напомним, что скаляр — тензор нулевого ранга, а вектор — тензор первого ранга). В качестве независимых переменных (аргументов) при этом обычно выступают координаты точек трехмерного пространства и/или время (или некоторый неубывающий параметр - аналог времени).
По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Введение тех или иных количественных характеристик объекта моделирования возможно при наличии эталона сравнения. Например, для характеристики размеров тела используется эталонный образец — метр. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном. Кроме того, количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики находятся, например методом экспертных оценок. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.
При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых параметров модели, конечной точностью экспериментальных измерений! При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:
1) детерминированное — значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому параметру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;
2) стохастическое - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;
3) случайное — значения всех или отдельных параметров моде- устанавливаются случайными величинами, заданными оценка- плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объема выборок;
4) интервальное — значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;
5) нечеткое — значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Такая форма используется, когда информация О параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».
В теории игр [34, 40, 77] встречается еще один вид неопределенности параметров модели, называемый игровой неопределенностью. В данном пособии указанный вид неопределенности не рассматривается.
Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности (с «проклятием размерности» по образно-F выражению Р. Беллмана). Как правило, увеличение размерности модели приводит к росту числа используемых математических отношений. Особенно сложны в реализации трехмерные модели, требующие высокопроизводительной вычислительной техники с большим объемом оперативной и дисковой памяти. Реализация таких моделей стала возможной лишь с появлением вычислительных машин третьего поколения и потребовала создания специальных вычислительных методов и приемов.
Как правило, эффективная реализация трехмерных моделей возможна лишь на многопроцессорных вычислительных комплексах с использованием языков параллельных вычислений. Среди характерных вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются при создании моделей в трехмерной постановке, можно отметить необходимость хранения и решения систем уравнений большой размерности (10 тысяч уравнений и более), проблемы подготовки исходной информации и ее проверки, наглядное отображение полученных результатов.- При разработке модели стараются (если это возможно) понизить размерность. Однако необоснованное понижение размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения брошенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмерной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.
Из всей совокупности параметров; при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и координаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуациях объект исследования может по разному испытывать влияние времени.! Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени. Если сравнивать скорости изменения различных объектов по отношению к масштабам, характерным для Земли, то можно отметить, что для галактик время заметных изменений измеряется миллионами лет, а для элементарных частиц — миллионными долями секунды. Учитывая, что весь окружающий нас материальный мир состоит из постоянно изменяющихся и взаимодействующих элементарных частиц и полей, то все без исключения объекты исследования следует считать изменяющимися во времени.
Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние как с окружающей его средой, так и между отдельными элементами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.
При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой, а также времени релаксации, определяющего установление равновесия между отдельными элементами внутри объекта. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе.
Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями температуры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максимальной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа циклов нагружения до разрушения. Совокупность значений параметров модели в некоторый момент времени или на данной стадии называется состоянием объекта.
Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом случае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.
Условие движения отдельных элементов исследуемого объекта. Не является обязательным условием включения времени в число параметров модели. Для примера рассмотрим течение жидкости в длинной трубе постоянного сечения. Эксперименты показывают, что на достаточно, большом удалении от входа в трубу частицы жидкости движутся параллельно оси трубы (рис. 1.10). При этом если условия на входе не изменяются и скорость течения невелика (ламинарный режим течения), то профиль скоростей частиц в данном сечении трубы с течением времени остается неизменным. В этом случае в каждой фиксированной точке исследуемого пространства значения параметров модели не зависят от времени. Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных потоков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключено из числа независимых переменных.
Если в качестве одной из существенных независимых переменой модели необходимо использовать время (или его аналог), то модель называется нестационарной. Примером нестационарной модели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей
из некоторого сосуда. По мере понижения уровня жидкости в сосуде давление на входе в трубу будет уменьшаться, что приведет к изменению параметров течения жидкости в любой точке трубы.
Заметим, что для значительной части реальных процессов стационарные режимы являются наиболее предпочтительными. После их определения (с применением той или иной математической модели) проверяется устойчивость стационарного режима (решения), что во многих случаях требует постановки и решения нестационарной задачи для возмущений стационарного решения. В ряде случаев, когда определение стационарных режимов из аналитического решения или некоторых эвристических соображений затруднено, их поиск осуществляется методом установления соответствующей нестационарной задачи (т.е. ищется решение нестационарной задачи, асимптотически стремящееся к стационарному). Следует отметить, что этим методом довольно часто пользуются при решении стационарных задач численными методами, поскольку методы решения нестационарных задач часто оказываются существенно эффективнее, чем стационарных.
Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
Целью дескриптивных моделей (от лат. descriptio — описание) является установление законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией
описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования,
Другой пример дескриптивной модели — модель движения ракеты после старта с поверхности Земли. В качестве параметров модели в данном случае могут выступать начальное положение и начальная скорость ракеты (входные), ее начальная масса, импульс двигателя, режим его работы (собственные параметры), закон изменения сил притяжения и сил сопротивления атмосферы (внешние воздействия). Выходными параметрами будут положение и скорость центра масс ракеты и ее ориентация в пространстве в произвольный момент времени.
Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом./Часть параметров модели относят к параметрам управления, изменяя которые можно получать различные варианты наборов значений выходных параметров. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств, связанные с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».
Примером оптимизационной модели может служить моделирование процесса запуска ракеты с поверхности Земли с целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время при ограни на величину импульса двигателя, время его работы, начальную и конечную массу ракеты. Математические соотношения дескриптивной модели движения ракеты выступают в данном случае виде ограничений типа равенств.
Отметим, что для большинства реальных процессов, конструкций требуется определение оптимальных параметров сразу по нескольким критериям, т.е. мы имеем дело с так называемыми многокритериальными задачами оптимизации. При этом нередкими являются ситуации противоречивости критериев; например, при оптимизации конструкции рамы грузового автомобиля можно потребовать максимальной жесткости, минимальной массы и минимальной стоимости. Для решения подобных задач используются специальные методы и алгоритмы.
Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. В общем случае принятие решений является процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом [20]. Однако на практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданного их множества, а общий процесс принятия решений представляется как последовательность таких выборов альтернатив [20]. Например, на предприятии освободилась должность главного инженера, и задача директора состоит в выборе из имеющегося множества кандидатов на эту должность одного, отвечающего заданным требованиям. Сложность задачи заключается в наличии неопределенности как по исходной информации (неполные данные о кандидатах) и характеру воздействия внешних условий (случайное: выбранный кандидат заболел или отказался; игровое: министерство против выбранной кандидатуры), так и по целям (противоречивые требования к выбираемой кандидатуре: должен быть хорошим специалистом и администратором, опытен, энергичен, молод и пр.). Поэтому, в отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.
Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей.
Методы формирования критериев оптимальности в зависимости от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений [20, 105], которая базируется на теории игр и исследовании операций [34, 77].
от методов реализации (рис. 1.12)
Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить
выходные параметры виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу. Примеры аналитических выражений:
Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня. Примеры алгебраических выражений:
Очень часто аналитическое решение для модели представляют элементарных или специальных функциях: показательных, логарифмических, тригонометрических, гиперболических и т.п. Для потения значений этих функций при конкретных значениях вход-; параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора). Так, показательная функция может быть представлена следующим рядом:
Таким образом, значение функции при каждом значении аргумента в этом случае определяется приближенно. Модели, использующие подобный прием, называются приближенными.
Учитывая различное число членом ряда, можно вычислять значение функции с различной степенью точности. Например, учет первых шести членов ряда в разложении показательной функции обеспечивает точность в 10 , а первых десяти — Ю-8.
Аналитические методы реализации модели являются более ценными в том плане, что позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить свойства объекта моделирования применяя традиционные хорошо развитые математические методы анализа аналитических функций. Существенно, что применение аналитических методов возможно без использования ЭВМ (за исключением случаев, когда аналитическое решение определяется в рядах и для его доведения до числа требуются трудоемкие вычисления с применением ЭВМ). Кроме того, знание аналитического выражения для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, его качественное поведение, строить новые гипотезы о его внутренней структуре. Следует отметить, что возможности аналитических методов существенно зависят от уровня развития соответствующих разделов математики.
В настоящее время мощный всплеск интереса к аналитическим методам при реализации моделей связан с появлением пакетов математических вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica, Scientific Workplace и др.). Спектр решаемых данными пакетами задач очень велик и постоянно расширяется (элементарная математика, символьные операции с полиномами, производными и интегралами, с векторами и матрицами, задачи теории поля и векторного анализа, метод конечных элементов и т.п.). Применение подобных программных средств не только упрощает процедуру получения аналитического решения, но и облегчает последующий анализ полученного решения с применением различного рода визуализаторов.; Достаточно подробное описание математических пакетов, их сравнение и анализ возможностей можно найти в [92].
К сожалению, существующие в настоящее время математические методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей в узком диапазоне значений параметров. В большинстве случаев при исследовании моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.
При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений; т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. Степень приближения определяемых с помощью численного ода искомых параметров модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполнении любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения Исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов.
К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработкой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самостоятельный быстро развивающийся и обширный раздел - вычислительнуюматематику.
Если при численном подходе дискретизации подвергалась полученная система математических соотношений, то при имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования [66]. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется «которым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналитическими, так и алгоритмическими.
Алгоритмические модели, использующие как численный, так имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.
Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с ре
2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
Первоначальная формулировка проблемы является самой трудной частью, так как здесь необходимо все время использовать сени мысли, позднее взамен их может использоваться математика.
А. Эллингтон
Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей). Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований (особенно — на стыке различных областей знания), выполнением проектных и конструкторских работ на производстве, созданием систем автоматического управлении, планирования и контроля. Человека или организацию, заинтересованных в разработке новой математической модели, для кpaкости будем называть заказчиком. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчикищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, какправило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов. I Итак, если решение о создании модели принято и рабочая группа сформирована, то можно приступать к этапу обследования объекта моделирования. Основной целью данного этапа является подготовка содержательной постановки задачи моделирования.
Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования.
Подготовка списка вопросов, на которые должна ответить но модель, зачастую является самостоятельной проблемой, треб; щей для своего решения специалистов со специфическими знаниями и способностями. Они должны не только хорошо разбираться предметной области моделирования, знать возможности современной вычислительной математики и техники, но и быть достаточно коммуникабельными, т.е. уметь общаться с людьми, «разговорить» практиков, хорошо «чувствующих» объект моделирования, нюансы его поведения. Подобных специалистов в настоящее время называют постановщиками задач.
На основании анализа всей собранной информации постановщик задачи должен формулировать такие требования к будущей модели, которые, с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика,ис другой - позволяли бы реализовать модель в заданные сроки ирамках выделены к материальных средств.
Специалисты-постановщики должны обладать способностью из "большого объема слабо формализованной разнообразной информант об объекте моделирования, из различных нечетко высказанных и сформулированных пожеланий и требований заказчика к будущей модели выделить го главное, что может быть действительно реализовано. Из перечисленных требований, предъявляемых кпостановщикам задач, видно, насколько велика возложенная на нихответственность и насколько могут быть тяжелы допущенные ими ошибки и просчеты. Неправильная оценка срока и стоимости реализации требуемой модели может привести к неудаче всего проекта, к напрасной потере времени и средств.
Специалисты, предрасположенные к работе в качестве постановщиков задач, особенно ценятся и являются, без преувеличения, золотым фондом научных коллективов. По этому поводу Г. Биркгоф отмечает, что прикладники-математики, «способные к глубокому общению с другими учеными и инженерами и знакомые с мощью и ограничениями цифровых машин, ... призваны стать вождями завтрашнего математического мира, но их будет крайне трудно найти и развить» [12]. С учетом данного высказывания, а также имея в виду конечную цель деятельности рабочей группы — построение математической модели, — представляется целесообразным рекомендовать в качестве руководителя группы именно прикладника-математика.
Этап обследования проводится членами рабочей группы под руководством постановщиков задач и включает следующие работы:
> тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;
> сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов;
> аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);
> анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.
На основе собранной информации об объекте моделирования постановщики совместно с заказчиком формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели. Однако, с учетом изложенного выше, все последующие уточнения и изменения содержательной постановки должны носить частный, не принципиальный характер, если объектом моделирования является технологический процесс, машина, конструкция или деталь, то содержательную постановку задачи моделирования очень часто называют технической постановкой задачи. Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели.
Техническое задание является итоговым документом, заканчивающим этап обследования, который, как уже отмечалось, является очень важным и ответственным. Чем более полную информацию удастся собрать об объекте на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи более полно учесть накопленный опыт и знания, избежать многих сложностей на последующих этапах разработки модели. Особенно строго необходимо формулировать требования к будущей модели. Неконкретные и нечеткие требования могут серьезно затруднить процесс сдачи модели заказчику, вызвать бесконечные доработки и улучшения. В целом этап проработки технического задания может составлять до 30% времени, отпущенного на создание всей модели, и даже более — с учетом возможного уточнения и переформулировки.
Понимая огромную важность рассматриваемого этапа, техническое задание следует подвергать внутренней (внутри организации) и внешней экспертизе независимыми экспертами, не участвующими в его разработке. Обязательным условием на этапе разработки технического задания является участие в его обсуждении всех членов рабочей группы. Ниже приведен пример содержательной постановки задачи о баскетболисте.
Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте.
Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.
Модель должна позволять:
• вычислять положение мяча в любой момент времени;
• определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
• масса и радиус мяча;
• начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
• координаты центра и радиус корзины.
2.2 КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Наилучшие гипотезы — это простые гипотезы, которые легко подтвердить экспериментально, если они верны, и легко опровергнуть с помощью надлежащим образом подобранных решающих экспериментов или наблюдений, если они неверны.
Н.Бейли
В отличие от содержательной концептуальная постановка задачи моделирования, как правило, формулируется членами рабочей группы без привлечения представителей заказчика, на основании разработанного на предыдущем этапе технического задания, с использованием имеющихся знаний об объекте моделирования и требований к будущей модели.
Анализ и совместное обсуждение членами рабочей группы всей имеющейся информации об объекте моделирования позволяет сформировать содержательную модель объекта, являющуюся синтезом когнитивных моделей, сложившихся у каждого из членов рабочей группы. На основании содержательной модели разрабатывается концептуальная, или «естественнонаучная» (физическая, химическая, биологическая и т.д.), постановка задачи моделирования, служащая основой для концептуальной модели объекта.
Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
2.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Задача любого вида сводится к математической задаче.
Р.Декарт
Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования! включающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
Математическая постановка задачи моделирования — это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
Как было отмечено в гл. 1, совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой алгебраических уравнений. Подобные модели можно назвать моделями аппроксимационного типа, так как для их получения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспериментальных данных о поведении выходных параметров объекта моделирования в зависимости от входных параметров и воздействий внешней среды, а также от значений внутренних параметров объекта.
Однако область применения моделей подобного типа ограничена.Для создания математических моделей сложных систем и процессов, применимых для широкого класса реальных задач требуется, как уже отмечалось выше, привлечение большого объема знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях и в смежных областях). В большинстве дисциплин (особенно естественнонаучных) эти знания сконцентрированы в аксиомах, законах, теоремах, имеющих четкую математическую формулировку.
Следует отметить, что во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в физике и механике относятся, например, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материальных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, состояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверждено огромным количеством экспериментов,хорошо изучены и в силу этогоприменяются в соответствующих математических моделях как данность. Соотношения второго класса в физике и механике называют определяющими или физическими уравнениями, или уравнениями состояния. Они устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидкостей, газов, упругих или пластических сред и т.д.) при воздействиях различных внешних факторов.
В качестве классических примеров определяющих соотношений можно привести закон Гука в теории упругости или уравнение Клапейрона для идеальных газов. Очевидно, определяющие соотношения должны отражать реальное атомно-молекулярное строение исследуемых материальных объектов.
Соотношения второго класса гораздо менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю (особенно при анализе объектов, состоящих из новых материалов). Необходимо отметить, что определяющие соотношения — это основной элемент, «сердцевина» любой математической модели физико-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количественно (а в некоторых случаях и качественно) неверным результатам моделирования.
Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) и/или интегродифференциальных уравнений (ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные и/или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.
Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:
> задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяются значения этих искомых переменных для любого момента времени;
> начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на искомую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней в каждый момент времени (на исследуемом интервале);
> задачи на собственные значения, в формулировку которых входят неопределенные параметры, определяемые из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости состояния равновесия или стационарного движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.).
Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок [13]:
> Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности. При переходе к вычислениям данная проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.
> Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров.; Например, если для выражения х + у + z~ 0 в результате оценки установлено, что в рассматриваемой области значений параметров модели |z|<<|х| и |z|<<|у| то третьим слагаемым в исходном выражении можно пренебречь.
> Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из выписанных математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.
> Контроль экстремальных ситуаций — проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, чаще всего к нулю или бесконечности.' В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка. Например, в задачах механики деформируемого твердого тела деформация материала в исследуемой области в изотермических условиях возможна лишь при приложении нагрузок, отсутствие же нагрузок должно приводить к отсутствию деформаций.
> Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.
> Контроль физического смысла — проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели.
> Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть п. Если их меньше и, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше л, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает п, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов. Неравенств среди условий также может быть любое число, как это бывает, например, в задачах линейного программирования. Свойство математической замкнутости системы математических соотношений тесно связано с введенным Ж. Адамаром понятием/корректно поставленной математической задачи [93], т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных. В данном случае решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.
Понятие корректности задачи имеет большое значение в прикладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. При этом далеко не все задачи, возникающие на практике, можно считать корректными (например, так называемые обратные задачи). Доказательство корректности конкретной математической задачи — достаточно сложная проблема, она решена только для некоторого класса математически поставленных задач. Проверка математической замкнутости является менее сложной по сравнению с проверкой корректности математической постановки. В настоящее время активно исследуются свойства некорректных задач, разрабатываются методы их решения. Аналогично понятию «корректно поставленная задача» можно ввести понятие «корректная математическая модель».
Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.
