Сплайновые поверхности.

Би-сплайновая кривая

Кривая Безье

, где

-число сочетаний.

Свойства Безье:

- является гладкой

- строится от v0 до точки vM, касаясь отрезков v0v1 и vM-1vM

- функциональные коэффициенты (not Vi) - суть универсальные многочлены Бернстайна, неотрицальны в сумме =1.

Поэтому можно сказать, что кривая лежит в выпуклой оболочке порождаемой множеством V. При М=3 получим элементарную кубическую кривую Безье (v0,v1,v2,v3), описываемую параметрическим уравнением

или в матричной записи:

r(t) = V*M*T, где

М - базисная матрица Безье.

Кривые Безье.

Практически часто используются кривые из коротких Безье, но при этом нужно выполнить условие гладкости в точках стыковки.

Отличается коэффициентами, Рассмотрим на примере кубических многочленов.

или в матричной форме

r(t) = V M T

где

М - базисная матрица бисплайновой кривой. Функциональные коэффициенты в уравнении R(t) неотрицательны в суме = 1, универсальны (не зависимости от точек).

Значит, кривая лежи внутри выпуклой оболочки заданной вершинами:

- 4-х угольника на плоскости

- тетраэдра в пространстве

Составная кубическая би-сплайновая кривая задаваемая к=к(е), прием 0<=t,<=m-2, и определяемая набором точек v0...m3, m>=3

То описываем математического вида:

R=Ri(t).

Область изменения параметра t и расположение на ней точек, соответствующих стыковочным узлам, может быть произвольным. Простейший случай – это равномерная параметризация с равноотстоящими целочисленными узлами. Такая составная би-сплайновая кубическая кривая является гладкой и лежит в объединении м-2 выпуклых оболочек порождённых последовательными 4-ками точек заданного набора. Можно добавлять к заданному набору точки - получим составную би-сплайновую кривую с разными свойствами. Нарпмер:

Добави точки V-1 = (v0-v1)v0

Vm+1=(Vm-Vm-1)+Vm

Получим составную бисплайнову фигур начинающися V0 касаясь V0V1 b заканчивается в Vm касаясь Vm-1Vm.

Регулярная поверхность - множество точек Мxyz пространства, координаты кривых определяются параметрическими урми:

x=X(U,V)

y=Y(U,V)

z=Z(U,V)

(U,V)€D

Где xyz - гладкие функции своих аргументов - Д некоторая плоскости на плоскости UV

И в каждой точке существует касательная плоскость, которая при непрерывном перемещении изменяется непрерывно.

R(U,V)=( x(U,V), y(U,V), z(U,V), )

(U,V)€D

Wij, i=0..m, j=0...n

Соединяя вершины прямыми отрезками, получим контрольный многогранник (опорный граф) множества W. Сглаживающая поверхность описывается параметрическими уравнениями.