Логика высказываний

Математическая логика

Арифметика бесконечного

Теорема Кантора

Мощность множества R.

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек

на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.

Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

Теорема Кантора.

N < R (À₀ < À₁)

Доказательство.

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а₁¹, а₂¹, а₃¹ ......

0, а₁²,а₂², а₃² ......

0, а₁³,а₂³,а₃³ ...

.

Но здесь отсутствует число 0, b₁, b₂, b₃ ... где a₁¹ ¹ b₁, b₂ ¹ a₂² ... b_n ¹ a_nⁿ

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел À₁ называется мощностью континуума.

Бесконечных мощностей бесконечно много: À₀ < À₁ < À₂ < À₃ < …

À₀ - самая маленькая бесконечная мощность.

À₀ + A = À₀ À₁ - À₀ = À₁

À₀ + À₀ = À₀ À₀ - A = À₀

À₁ + À₁ = À₁ À₀ - À₀ = À₀

À₁ + À₁ = À₁ À₀ - À₁ = À₁

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение,

относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.

Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.

Определение: Угол в 90 градусов называется прямым углом.

Восклицание: Смирно!

Вопрос:Кто сказал "мяу"?

Парадокс лжеца: "Я лгу".

Если это высказывание ложь, то я говорю правду.

Но если я говорю правду, то я действительно лгу.

Высказывания будем обозначать отдельными буквами.

Более строго их можно называть элементарными высказываниями.

Главный содержательный парадокс логики высказываний состоит в том, что она не интересуется смыслом высказываний. По образному сравнению логика Клини в математической логике на высказывания смотрят через «рентген», который отбрасывает их содержательный смысл и оставляет только "скелет" высказывания - его истинность.

Истинность может принимать два значения

истинно ложно

и л

true false

t f

но самые популярные обозначения

1 0

которые не следует путать с числами двоичной арифметики.