Свойства графиков

Кортеж. График

Кортеж- фундаментальное неопределяемое понятие.

В кортеже существенны не только элементы, но и порядок, в котором они располагаются. Следовательно, кортеж может содержать одинаковые элементы.

Примерами кортежей могут служить очередь, свадебный кортеж. Кортежем является вектор, заданный проекциями на оси.

Кортеж заключается в угловые скобки.

< a₁ ,a₂, a₃, ..., a_n > - кортеж длиной n или упорядоченная n-ка.

< 1, 1, 1 > - упорядоченная тройка – единичный вектор.

< a, b> - упорядоченная двойка или пара. Пару (и не только ее) можно представить и в традиционном виде, как множество: {a, {a, b}}. Однако использование угловых скобок упрощает представление.

График- множество пар. Можно дать и более общее определение графика в n-мерном пространстве, как множества n-ок). Однако в дальнейшем будут рассматриваться только двухмерные графики.

Примеры: G = { < a, b >, < c, a >, < d, b > } - график.

Несколько эпатирующе звучит слово график применительно к аналитической записи. Но это лишь подчеркивает его универсальность. Для множеств действительных чисел Х и У приведем графический пример графика.

У

у_i

х_i Х

Декартово (прямое) произведение множеств A и B:

A x B = {< a, b > | a Î A, bÎB}

В общем случае : A₁ x A₂ x A₃ x ...x A_n = {< a₁, a₂, ..., a_n >|a₁ÎA₁, a₂ÎA₂, ... , a_nÎA_n}

Пример : Для A = { 1, 2} и B={ 1, 2, 3} декартово произведение

А х В = {< 1, 1 >, < 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 1 >, < 2, 2 >, <2, 3>}

График является полым, если он совпадает с декартовым произведением.

Композицией графиков P и Q называется график R = P · Q , если он состоит из таких пар <x, y> Î R , что для каждой пары найдется свое z, такое, что < x, z > Î P,

< z, y > Î Q. Очевидно, что это некоммутативная операция.

Пример :

P = {< a, b >, < 1, r >, < c, 3 >, < a, 4 >}

Q = {< 2, 3 >, < 4,5 >, < a, c >, < b, d >}

R = P · Q = {< a, d >, < a, 5 >}

1. График называется функциональным, если он не содержит пар с одинаковой первой и различными вторыми компонентами.

2. График называется инъективным, если он не содержит пар с одинаковой второй и различными первыми компонентами.

3. График называется симметричным, если он равен своей инверсии.

4. График называется диагональю множества М, если он состоит из пар вида

<x, x>: D_M = {<x, x> | x Î M}

Примеры

функциональный нефункциональный

нефункциональный неинъективный

Пара <a, b> называется инверсией пары <c, d>, если a = d, b = c.

График P^-1 - инверсия графика P, если он состоит из инверсий пар графика P.

Пример

P ={<a, b>, <b, e>, <k, s>}

P^-1={<b, a>, <e, b>, <s, k>}

Проекция кортежа на заданные оси - есть кортеж, составленный из соответствующих компонент исходных кортежей. Рассматриваются только проекции на возрастающий (по номеру) список осей.

Пример

B = <2, 5, 6, 4, 2, 6>

пр.B_1,2,4 = <2, 5, 4>

Проекция некоторого множества М на множество осей дает множество проекций кортежей, составляющих множество. Исходное множество должно состоять из кортежей одинаковой длины.

Пример

M={<a, b, c>, <a, c, d>, <k, l, m>, <o, p, r>}

пр.M_1,3={<a, c>, <a, d>, <k, m>, <o, r>}