Основным фактором успешного решения задач является научно обоснованная формализация задачи. Наиболее трудной является формализация задач на уровне спецификаций, когда необходимо содержательное представление задачи перевести в формальное описание. Решение формализованной задачи позволяет получить чёткие оценки ожидаемых результатов. Формализация успешно осуществляется на основе математического моделирования, которое является неотъемлемой частью науки управления, успешно реализуемой в рамках ИСО1.
Существует множество различных типов моделей: физические, аналоговые, интуитивные и т. д. Особое место среди них занимают математические модели (ММ), которые, по мнению академика А.А. Самарского, и являются самым большим достижением научно-технической революции XX в.
Модель — это информационный образ реального объекта, воспроизводящий данный объект (систему) с определенной степенью точности и в форме, часто отличной от формы самого объекта.
Назначение модели — поиск значений управляемых переменных, оптимизирующих критерий эффективности операций.
Создание моделей реальных бизнес проектов и объектов управления является высшей точкой операционного подхода к решению задач информационного управления.
Модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, определить данные, необходимые для оценки имеющихся альтернатив. Это обеспечивает получение обоснованных выводов. Модель является средством формирования четкого представления о действительности.
Модель может быть физической копией реального объекта. В таких случаях говорят о физическом моделировании, физических моделях (копии самолетов, автомобилей — уменьшенные или увеличенные копии). Их свойства близки свойствам реального объекта, а стоимость гораздо меньше.
Аналоговые модели — аналог исследования объекта, в той или иной форме воспроизводящий функции реального объекта (график, описанная связь между величинами).
Математические модели (ММ) — совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих в символьной форме важнейшие для исследования свойства объекта.
Так, формула Р = (где Р — уровень рентабельности, nр — прибыль, U — издержки производства) — математическая модель.
ИСО — метод исследования операций. 94 дель, описывающая одно из важнейших свойств действующего предприятия.
Семантические модели отражают функции исследования объекта в виде семантических алгоритмов (правил, свойств, признаков), описанных в словесной форме.
Моделирование — способ системного анализа проектирования, при котором используют математические или физические модели функционирования всей системы или ее части. Полнота и реальность модели зависят от тех вопросов, на которые надо ответить, от степени изученности системы, а также среды ее функционирования.
Математическое моделирование (ММ) — важнейший трудоемкий и наукоемкий процесс при создании и сопровождении сложных автоматизированных информационных систем. ММ позволяет в должной степени оценить вероятность успеха, связанные с этим риски, прибыли и ущербы. В результате правильного моделирования углубляются и моделируются знания о системе, о связи возможных результатов с различными характеристиками этой системы, условиях ее создания и функционирования, степени достижения целей, которые перед ней ставились. Все вышеперечисленное позволяет заказчику правильно и доказательно сформулировать требования технического задания (ТЗ), разработчику — рационально их выполнить без излишних затрат ресурсов, а пользователю — максимально эффективно реализовать на практике заложенный потенциал системы.
Математическое моделирование — процесс создания математических моделей и оперирование ими с целью получения требуемых сведений о реальном объекте. Математическая модель должна отражать сущность моделируемой проблемы управления.
Последовательно осуществляют разработку математической модели и ее машинную реализацию:
построение концептуальной модели;
разработку алгоритма модели системы;
разработку программы реализации модели системы;
проведение машинных экспериментов с моделью системы.
К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности и экономичности (меньше затрат ресурсов).
Классификация математических моделей приведена в табл. 2.2.
Структурные математические модели отображают структурные свойства объекта, а также топологические и геометрические.
В топологических моделях отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п. (например, в транспортной системе — расписания).
Функциональные математические модели предназначены для отображения процессов (физических или информационных), протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функции модели содержат алгоритмы, связывающие переменные, внутренние, внешние или выходные параметры. Выделение аспектов описания позволяет выделять комплексы алгоритмов, относящихся к той или иной деятельности объекта, и приводят декомпозицию системы к определенному признаку.
Деление объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровням моделирования. В зависимости от места и иерархии описаний математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Эти модели по своей структуре и содержащимся в них математическим объектам могут не различаться, что позволяет применять одинаковые алгоритмы их решения. Различие состоит в том, что на более высоком уровне компоненты модели принимают вид сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же аспектами определяется и разделение моделей по степени детализации описаний объектов.
По способу представления свойств объектов выделяют математические модели: аналитические, алгоритмические, имитационные, семантические.
В исследованиях операций, как правило, используются математические модели.
Автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:
разработку математической модели объекта, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту (работоспособность, технологичность, допустимая стоимость и т. п.)
организацию такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели.
Операционная модель— это совокупность алгоритмов, описывающих функциональные свойства проектируемого объекта, отвечающего всем требованиям, предъявляемых в рамках конкретных задач проектирования. Операционная модель выражает зависимость критерия эффективности операции от выбранных параметров, а также условий проведения операций. Функционально это выражается зависимостью W = = F(Aу, X,), где W — выражения критерия эффективности операции; F — оператор (символ модели); А}— информация, вводимая в модель, на которую оператор не оказывает влияние; X, — управляемые параметры.
Схема метода построения операционных математических моделей приведена на рис. 2.14.
В аналитических моделях критерий связан с величинами A3w X/ математическими зависимостями, по которым можно определить экстремальное значение либо непосредственно, либо с помощью численных методов на ЭВМ. Связь между W и X/ и Aj может быть очень сложной.
Общих математических методов нахождения экстремума функции любого вида при произвольных ограничениях не существует. Но для целевой функции и системы ограничений, обладающих определенными свойствами, имеются специальные методы, исследуемые математическим программированием.
Под общей задачей математического программирования понимают задачу отыскания глобального экстремума функции /„ переменных хьх„ на множестве Мл-мерного пространства. При этом функция f(x) называется целевой функцией, а множество М обычно задается с помощью уравнений и неравенств вида:
