Модели, отражающие изучаемой системы, т.е. поведение ее во времени, называются D-схемами или непрерывно-детерминированными моделями.
В таких моделях время tÎ[0,T] полагается непрерывной переменной, а случайными факторами в системе пренебрегают. Основной математический аппарат, который используется для построения таких моделей – это дифференциальные и интегральные уравнения.
Особенности непрерывно-детерминированного моделирования покажем на примере дифференциальных уравнений.
Пусть подлежащая моделированию система - это электрический колебательный контур с двумя параметрами: емкостью q1 и индуктивностью 1/q2. Состояния этой системы в момент времени t характеризуются величиной заряда конденсатора x(t), которая измеряется прибором с некоторой погрешностью v(t). Тогда математическая модель будет иметь вид:
(2)
где u(t) – внешнее детерминированное электрическое воздействие на контур. Если u(t)=0, x(0)=Acosf, то решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:
где А – амплитуда, f - фаза колебаний.
При построении D-схем системы автоматического управления (САУ) и для исследования работы технологических объектов используют дифференциальные уравнения высших порядков или дифференциальные уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Например, при построении D-схемы одноканальной системы автоматического управления, структура которой представлена на рисунке 3, приходится пользоваться дифференциальным уравнением k-порядка.
v(t)
u(t)
Управляющая система
z(t)
Объект управления
x(t)
Канал измерений
y(t)
Рисунок 3 – Структурная схема одноканальной САУ
Объект управления /3, с. 18/ описывается дифференциальным уравнением
,
где y(×) – некоторая функция от k + l + m + 3 переменных; x(t) - состояние объекта управления, измеряемое с некоторой e - погрешностью в канале измерения
y(t)=x(t)+v(t), |v(t)|£e;
z(t) – воздействующий на объект управления сигнал, формируемый управляющей системой по заданному алгоритму
z(t)=Ф(u(t),y(t)).
Полагают, что в F-схемах время t является дискретной переменной: t=tD, где D - шаг дискретизации, а t=0,1,2, … . При построении математических моделей используют конечно-разностные функции, а аппаратом является раздел технической кибернетики, в частности, теория автоматов.
Автомат можно представить как некоторое устройство в виде «черного ящика», на которое подаются входные сигналы x(t)ÎX (входной алфавит), снимаются выходные y(t)ÎY (выходной алфавит) и которое может иметь некоторое внутреннее состояние z(t)ÎZ (внутренний алфавит). При этом автомат имеет начальное состояние z0ÎZ, а также функцию перехода из одного состояния в другое при наличии входного сигнала j(z,x) и функцию выхода y(z,x), которая формирует выходной сигнал при наличии входного сигнала и смене состояния автомата.
Таким образом, F-схема задается следующим выражением /2/:
.
Для описания таких моделей обычно используются автомат первого рода – автомат Мили:
(3)
или автомат второго рода – автомат Мура:
(4)
Существуют автоматы: с памятью (имеющие более одного состояния) и без памяти, синхронные и асинхронные.
В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат считывает входные сигналы, определяются синхронизирующими сигналами. После очередного такого сигнала с учетом считанного и уравнений (3-4) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат воспринимает следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждом значении заканчивается за один такт.
Асинхронный автомат считывает входные сигналы непрерывно, поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x, он может несколько раз изменить состояние по уравнениям (3-4), выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.
При решении задач моделирования часто более удобной формой представления F-схем являются матрицы состояний автомата С=|cij|, где i – строки – исходные состояния, а j – столбцы – состояния перехода.
(2)
,
.
(3)
(4)