Условный экстремум в случае ограничений неравенств

Задача условной оптимизации оптимизации

Задача безусловной оптимизации

Теорема Вейерштрасса.

Если f – непрерывная функция на ограниченном и замкнутом множестве Х, то задача (1.1) имеет глобальное решение.

Необходимые условия оптимальности – условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи.

Достаточные условия оптимальности – условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

Эти условия позволяют:

1)найти аналитическое (точное) решение задачи для простых задач

2)с их применением строятся численные решения

3)с их помощью можно найти локальные решения.

Замечание: для глобальных необходимых и достаточных условий нет, они существуют только для локальных.

В общем виде задача оптимизации:

(1.6)

Если функция одной переменной, то

(1.7)

Необходимые условия локальной оптимальности.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке . Если точка локального минимума (локальное решение задачи (1.7)), то

(1.8)

→ стационарные точки (корни уравнения)

Стационарные точки могут быть и точками локального минимума, и точками локального максимума, и точками перегиба. Для определения характера стационарных точек используют достаточное условие

Достаточные условия локальной оптимальности.

Пусть функция f(x) k-раз (k>1) дифференцируема в точке , причем

Тогда если k – четное число, то – точка локального максимума при и – точка локального минимума при .

Тогда если k – нечетное число, то – точка перегиба.

Матрица Гессе:

Необходимое условие локальной оптимальности.

Пусть f(x) дифференцируема в точке . Если точка локального минимума (локальное решение задачи (1.6)), то

(1.9)

Соотношение (1.9) (вектор из n-нулей) рассматривается как система из n-уравнений относительно n-неизвестных. Решением являются стационарные точки.

Полученные точки могут быть точками минимума, максимума и седловыми точками.

Для установления характера стационарных точек используется достаточное условие локальной оптимальности:

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке . Если , а матрица положительно (отрицательно) определена, то есть при всех ненулевых , то – точка локального минимума (максимума) f(x) на .

Если , а матрица не определена, то есть для некоторых и для остальных , то – седловая точка.

Если квадратичная форма обращается в нуль при ненулевых , то для определения характера стационарной точки требуется исследование производных более высокого порядка.

Для проверки знака определенности матрицы Гессе используется критерий Сильвестра:симметричная матрица А положительно определена, если все ее угловые миноры положительны.

Угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми, причем первыми номерами.

Если все угловые миноры положительны, то стационарные точки являются локальным минимумом. Если хотя бы один минор отрицательный, то матрица не является положительно определенной.

В этом случае необходимо определить не является ли матрица А отрицательно определенной. Чтобы проверить матрицу А на отрицательную определенность, нужно проверить матрицу (-A) на положительную определенность:

1)Если в матрице (-А) M₁>0,а M₂<0, то матрица (-А) не является положительно определенной и следовательно матрица А не является отрицательно определенной, а точка – седловая точка

2)Если в матрице (-А) все миноры M>0, то матрица А положительно определена и следовательно матрица А не является отрицательно определена, а точка – локальный максимум.

Задача оптимизации (минимизации)

(1.10)

называется задачей условной оптимизации, если .

Задача оптимизации с допустимым множеством Х, заданным системой конечного числа уравнений

Здесь предполагается, что m<n/

Тогда задача (1.10) записывается в явном виде

(1.11)

Для решения задачи (1.11) используется метод множителей Лагранжа.

Переход от задач условной минимизации заданной функции f(x) к задачам безусловной оптимизации функции Лагранжа

Используем вектора производных