Теорема Вейерштрасса.

Б) Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.

1) Для того чтобы Гессе H(x*) была положительно полуопределена определена

(H(x*) ³ 0) и точка x* являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2) Для того чтобы Гессе H(x*) была положительно полуопределена определена

(H(x*) £ 0) и точка x* может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка – неположительны.

· Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Матрица G размерностью(n x n) считается положительно определенной, если все ее собственные значения m₁, m₂,…, m_n положительны, т.е. m_j > 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Матрица G считается отрицательно определенной, если собственные значения отрицательны, т.е. m_j < 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Если среди собственных значений G встречаются и положительные и отрицательные, то матрица является знакопеременной, а исследуемая функция – невыпуклой.

Для определения собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение:

,

где I – квадратная единичная матрица; det – знак определителя.

Матрица отличается от матрицы Гессе тем, что по диагонали располагаются члены вида .

Так для двухмерной функции f(x₁, x₂)характеристическое уравнение будет иметь вид:

(4.10)

Собствееные значения m₁ и m₂есть корни обыкновенного квадратного уравнения

m²+ bm + c = 0, образуются после раскрытия определителя.

Для примера возьмеме функции двух переменных: f(x)= 2 - 2x₁ -2x₂ +x₁²+x₂²-x₁ x₂

Координаты экстремальной точки x* определяются решением системы уравнений

и равны x₁*=2, x₂*=2

Гессиан . После решения характеристического уравнения , т.е. квадратного уравнения (2-m)²-1 = 0 получены собственные значения m₁=3, m₂=1, т.е. матрица G является положительно оперделенной. Следовательно, функция f(x) является выпуклой и в экстремальной точке х* = (2,2) принимает минимальное значение f(x*) = -2.

Сформулированная выше задача оптимизации (4.1) имеет решение при любых целых функциях и допустимых множествах. Существуют задачи, в которых невозможно найти оптимальную точку и оптимальное значение. Например, не существует точек минимума у функции одной переменной ¦ на множестве Х в случаях изображённых на рис.4.5.

y y y

0 0 0

a b х a х a b х

Х=[a,b) Х=[a,+¥) Х=[a,b]

Рис.4.7. Графики функций, не имеющие минимума.

В первом случае точка минимума не существует, поскольку множество Х не замкнутое. Во втором случае - вследствие не ограниченности Х. В третьем случае минимум не достигается из-за того, что функция ¦ не является непрерывной.

Итак, при изучении задач оптимизации в первую очередь возникает вопрос о существовании решения. В этом случае имеет место, следующее утверждение, которое называют теоремой Вейерштрасса.

Теорема 4.5.Пусть Х – компакт в (замкнутое ограниченное множество), ¦ - непрерывная функция на Х. Тогда точка глобального минимума функции ¦ на Х (глобальное решение задачи (4.1)) существует.

В дальнейшем окажется полезной и несколько иная форма данной теоремы.

Теорема 4.6 Пусть Х - замкнутое множество в , ¦ - непрерывная функция на Х, причём существует такая точка х’ÎХ, что множество вида N(x’)={xÎХ ¦(x)£¦(x’)} ограничено. Тогда точка глобального минимума функции ¦ на Х существует (рис. 4.6)

Следствие:

Если функция ¦ (х) непрерывна на и , то ¦(x) достигает своего абсолютного минимума (наименьшего значения) на любом замкнутом подмножестве .

Рис.4.6 График функции имеющий глобальный минимум.