Критерий Сильвестра.

Если стационарная точка не соответствует локальному опт муму (минимуму или максимуму), то она является точкой перегиба или седловой точкой. Для того, чтобы провести различия между случаями, когда стационарная точка соответствует локальному минимуму, локальному максимуму или является точкой перегиба, необходимо построить достаточные условия оптимальности.

Условия оптимальности.

При изучении любого типа задач оптимизации важное место занимает вопрос об условиях оптимальности или, как говорят,условиях экстремума. Различают необходимое условие оптимальности, т.е. условия которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи, и достаточные условия оптимальности, т.е. условия из которых следует, что данная точка является решением задачи.

Замечания:

1. Если функция обладает свойством унимодальности, то локальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

2. Если функция не является унимодальной, то возможно наличие нескольких локальных оптимумов, при этом глобальный минимум можно определить путём нахождения всех локальных оптимумов и выборе наименьшего из них.

Теорема 4.1.(необходимое условие минимума первого порядка): Пусть функция ¦ дифференцируема в точке . Если - локальное решение задачи (4.1), то

(4.5)

или

.

Точка х*, удовлетворяющая условию (4.5), называется стационарной точкой функции ¦ или задачи (4.1). Ясно, что стационарная точка не обязана быть решением, т.е. (4.5)не является достаточным условием оптимальности. Такие точки являются подозрительными на оптимальные.

Пример 4.1. Рассмотрим, например, функцию (рис.4.4). Эта функция удовлетворяет необходимому условию оптимальности, однако, не имеет ни максимума, ни минимума при х*=0, т.е.и точка х* - стационарная точка.

x* x

Рис.4.6. График функции, имеющей точку перегиба.

Теорема 4.2.(необходимое условие минимума второго порядка): Пусть функция ¦ дважды дифференцируема в точке . Если х* - локальное решение задачи (4.1), то матрица неотрицательно определена, т.е.

при всех , (4.6)

где - гессиан функции ¦ в точке .

Достаточное условие локальной оптимальности содержит характерное усиление требований на матрицу .

Теорема 4.3.(достаточное условие минимума второго порядка): Пусть функция ¦ дважды дифференцируема в точке . Предположим, что ,а матрица положительно определена, т.е.

при всех , (4.7)

Тогда х*- строгое локальное решение задачи (4.1). Для функции числового аргумента (n=1) условия (4.6) и (4.7) означают, что вторая производная как скалярная величина не отрицательна и положительна соответственно.

Итак, для функции ¦ числового аргумента не является гарантией наличие оптиума при выполнении условий -минимум;-максимум. Достаточным условием является следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть в точке х* первые (n-1) производные функции обращаются в нуль, а производная n-го порядка отлична от нуля:

1) Если n-чётное, то х* - точка перегиба;

2) Если n-нечётное, то х*- точка локального оптиума.

Кроме того:

а) если эта производная положительная, то х*- точка локального минимума;

б) если эта производная отрицательна, то х* - точка локального максимума.

Для того, чтобы применить эту теорему 4.4 к функции (пример 4.1) , вычислим:

;

Так как порядок первой отличной от нуля производной равен 3 (нечётное число), точка х=0 является точкой перегиба.

Пример 4.2.Рассмотрим функцию:

.

определенную на всей действительной оси.

.

Ясно, что первая производная обращается в нуль в точках х=0,1,2,3, и, следовательно, эти точки можно классифицировать как стационарные.

.

Вычислим значения второй производной в четырёх точках х=0,1,2,3 (табл.4.1)

Значения второй производной функции (табл. 4.1).

Табл.4.1

x	f(x)	d2f / dx2
	27.5 5.5	-120

Отсюда следует, что х=1,3 -точки локального минимума, а х=2 -точка локального максимума. Чтобы идентифицировать х=0,вычислим третью производную.

Так как эта производная отлична от нуля и имеет нечётный порядок, то точка х=0 является не точкой оптиума, а точкой перегиба.

Пример 4.3.Максимизировать на интервале -2 £ х £ 4. Имеем

;

Решая это уравнение, получим две стационарные точки х=3 и х=-1, которые расположены внутри заданного интервала. Для того, чтобы найти глобальный максимум, вычислим значения функции в точках х=3,-1,-2,4.

¦(3)=37, ¦(-2)=12, ¦(-1)=5, ¦ (4)=30.

Таким образом, точка х=3 соответствует максимальному значению функции ¦ на интервале [-2,4]. Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка используются два способа.

Вместо перебора всех стационарных точек и соответствующих значений функции ¦ можно воспользоваться специальными процедурами, позволяющий найти глобальный оптимум с меньшими затратами времени.

Определение модальной функции не позволяет непосредственно проверить, является ли функция унимодальной. В теории оптимизации выделяется важный класс выпуклых и вогнутых функций, которые допускают проверку такого рода.

Когда функция достаточно проста, теоремы (4.1…4.3) позволяют явным образом решить задачу (4.1). При этом для исследования матрицы на неотрицательную и положительную определённость, как правило, используется критерий Сильвестра с использованием угловых миноров (первый способ).

а) Критерий проверки достаточных условий экстремума. Пусть А - симметрическая матрица порядка nxn. Тогда

1) Для того чтобы Гессе G(x*) была положительно определена (G(x*) > 0) и точка x* являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

M₁ > 0, M₂ > 0,…,M_n > 0 (4.8)

2) Для того чтобы Гессе G(x*) была отрицательно определена (G(x*) < 0) и точка x* являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

M₁ < 0, M₂ > 0, M₃ < 0,…, (-1)ⁿ M_n > 0 (4.9)