Формула Шихмана

Неявный метод Эйлера

Неявные методы интегрирования

Метод Эйлера

Явные методы

Применяют, когда производная выражена явно: , т.е. в нормальной форме Коши.

Известны начальные условия:

t = t₀; X = X₀

Разложим в ряд Тейлора интегральную кривую x_j(t) в окрестности точки t_k:

x_j (t_k+1) = x_j(t_k) + dx_j(t_k)/dt *h + (1/2!) d²x(t_k)/dt² * h²+…

h = t_k+1 -t_k

dX_j(t_k)/dt = f_j( X_k, t_k)

d²X_j(t_k)/dt² =[ f_j( X_k, t_k) - f_j( X_k-1, t_k-1) ]/h

- общая формула всех явных методов.

Это - метод первого порядка. Расчет ведется по формуле

X_k+1= X_k+ h F(X_k,t_k).

Она получается из общей формулы при p = 1.

Методическая погрешность метода оценивается старшим отбрасываемым членом.

На некотором интервале t₀,t суммарная накопленная погрешность ε ,

где 0(h²)- величина, ограниченная по сравнению с h².

– общая формула всех неявных методов.

Она получается если раскладывать в ряд Тейлора не в точке t_k, а в точке следующей t_k+1, где ищется решение. Если все явные методы неустойчивые, то среди неявных есть устойчивые.

Метод является устойчивым.

X_k+1= X_k + h F(X_k+1,t_k+1).

Часто применяют неявную формулу Шихмана 2 – го порядка.

X_k+1=( - 1/3) X_k-1+ (4/3) X_k+(2/3) h F(X_k+1, t_k+1),

Здесь b₁=2/3, b₂=1/3. По формуле: X_k+1= X_k +(2/3) h F(X_k+1, t_k+1) +(1/3) h F(X_k),

Заменяя производную F(X_k)=(X_k - X_k-1)/ h, получим искомую формулу.

Неявные методы удобно применять для алгебраизации дифференциальных уравнений, заменяя производные формулами неявных методов.

Например

Ψ(^∂Х/_∂t , X, t) = 0.

Заменимпроизводную по формуле Шихмана, получим:

Ψ(1/ h[( 3/2) X_k+1+ (1/2)X_k-1 - 2X_k)], X_k+1, t_k+1) = 0.

Эта алгебраическая система решается численными методами относительно X_k+1.

Полученные формулы для производных являются частными случаями общей формулы неявных методов Гира.

.

p = 1- формула Эйлера, d₁=1; p = 2 – формула Шихмана, d₁=4/3; d₂=-1/3.

Формулы Гира называют также формулами дифференцирования назад (ФДН).