Система нелинейных уравнений может быть записана виде:
F(X) = 0
f1(x) = 0
f2(x) = 0
………..
fn(x) = 0
Х = (х1; х2; …; хn)
Мы линеаризируем эту функцию в точке Хк-1 , т.е. приведем к линейному виду.
Для этого раскладываем в ряд Тейлора.
,
где Xk= Xk-1+ ∆Xk .
∂F1/∂X1; ∂F1/∂X2; ….∂F1/ ∂Xn
∂F2/∂X1; ∂F2/∂X2;….∂F2/∂Xn;
∂F/∂X = ………………………………… – матрица первых производных.
∂Fn/∂X1; ∂F/∂Xn;…..∂F/∂Xn
Итерационный процесс заканчивается, когда ║∆Xk ║≤ ε1
║ F(Xk ) ║≤ ε2,
где норма вектора отождествляется с его длиной:
║А║ = √ А12 + А22 + …. +Аn2,
А= (А1, А2, …Аn)
Недостатком метода является то, что не всегда имеет место сходимость решения. Если имеется сходимость, то она носит квадратичный характер, т.е.
║Хк – Хк-1║2≤║Хк – Х*║,
где Х* - точное решение.
Для линейной системы уравнений решение находится за одну итерацию.
Метод Ньютона – Рафсона ( метод продолжения решения по параметру)
Решение ищется, начиная с известного решения для кого-то значения параметра (которое принимается за начальное), и постепенно по шагам приближаясь к заданному значению. В электрических цепях за такое начальное решение принимается тривиальное решение для переменных (токов и напряжений) равное нулю при равенстве нулю всех источников в цепи.
,
где j = 1, 2, …N. При j = 1 принимаем E=0 и постепенно его значение увеличиваем.
Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
При известных начальных условиях t = t0, Х0
Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов.
В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов.
В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей.
Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений.
Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрированияh.
Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать
Ш =(tk – t0) /h,
где Ш – число шагов интегрирования.
Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей:
1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования).
2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.
Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов.
Методы интегрирования делятся на явные и неявные.
В явных методах решение определяется явным способом:
Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).
В неявныхметодах, находя решение системы уравнений:
F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.
Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые.
В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага.
В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.
Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности.