русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Алгебраизация обыкновенных дифференциальных уравнений


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1797; Нарушение авторских прав


Методы решения систем дифференциальных уравнений

Метод Ньютона

Система нелинейных уравнений может быть записана виде:

F(X) = 0

 

f1(x) = 0

f2(x) = 0

………..

fn(x) = 0

 

Х = (х1; х2; …; хn)

Мы линеаризируем эту функцию в точке Хк-1 , т.е. приведем к линейному виду.

Для этого раскладываем в ряд Тейлора.

 

 

,

где Xk= Xk-1+ ∆Xk .

 

∂F1/∂X1; ∂F1/∂X2; ….∂F1/ ∂Xn

∂F2/∂X1; ∂F2/∂X2;….∂F2/∂Xn;

∂F/∂X = ………………………………… – матрица первых производных.

∂Fn/∂X1; ∂F/∂Xn;…..∂F/∂Xn

 

Итерационный процесс заканчивается, когда ║∆Xk ║≤ ε1

 

║ F(Xk ) ║≤ ε2,

где норма вектора отождествляется с его длиной:

 
 


А║ = √ А12 + А22 + …. +Аn2,

А= (А1, А2, …Аn)

 

Недостатком метода является то, что не всегда имеет место сходимость решения. Если имеется сходимость, то она носит квадратичный характер, т.е.

 

║Хк – Хк-12≤║Хк – Х*║,

 

где Х* - точное решение.

 

Для линейной системы уравнений решение находится за одну итерацию.

 

Метод Ньютона – Рафсона ( метод продолжения решения по параметру)

Решение ищется, начиная с известного решения для кого-то значения параметра (которое принимается за начальное), и постепенно по шагам приближаясь к заданному значению. В электрических цепях за такое начальное решение принимается тривиальное решение для переменных (токов и напряжений) равное нулю при равенстве нулю всех источников в цепи.

,

 

где j = 1, 2, …N. При j = 1 принимаем E=0 и постепенно его значение увеличиваем.



Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

При известных начальных условиях t = t0, Х0

Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов.

В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов.

В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей.

Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений.

Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрирования h.

Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать

 

Ш =(tk – t0) /h,

где Ш – число шагов интегрирования.

Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей:

1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования).

2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.

 

Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов.

Методы интегрирования делятся на явные и неявные.

В явных методах решение определяется явным способом:

Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).

 

В неявныхметодах, находя решение системы уравнений:

F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.

 

Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые.

В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага.

В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.

 

Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности.

ε ~ ψ(t)hn, где nпорядокметода.

 

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Метод простой итерации | Формула Шихмана


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.004 сек.