Аксиомы Фадеева

Аксиомы Хинчена

1.Энтропия конечной вероятностной схемы ненулевая, непрерывная по вероятностям p_i при условиях:

1.;

2. .

2.Энтропия, заданная конечной вероятностной схемой, симметрична по p_i.

3. Энтропия, заданная конечной вероятностной схемой, при наличии пустого сообщения равна энтропии, заданная конечной вероятностной схемой без этого сообщения.

4.Энтропия объединенной вероятностной схемы:

, где ,

5. Энтропия конечной вероятностной схемы при равновероятных событиях:

1. – непрерывна при условиях: и положительна хотя в одной точке.

2. - симметрична по .

3. При где .

В дальнейшем все эти подходы Шеннона, Хинчена, Фадеева позволяют характеризовать производительность источника, оценивать возможности сжатия информации и анализировать пропускную способность канала.

2.3. Взаимная информация и её свойства.

Условная энтропия.

Для непрерывных величин .

Рассмотрим два связанных источника:

A=

B=.

Если два источника считать связанными друг с другом, то следует ожидать, что событие одного источника позволяют делать некоторые предположения о событиях другого. В терминах теории информации это означает, что неопределенность второго источника снижается, т.е. источники обмениваются взаимной информацией. Известно, что для совместных событий между собственной, условной и совместной вероятностями существует зависимость, имеющая вид:

Прологарифмируем данное выражение:

=.

Из полученных выражений видно, что собственная информация пары событий определяется суммой собственных информаций каждого из событий за вычетом некоторой неотрицательной величины, которая снижает неопределенность, т.е. она сама в свою очередь является информацией. Эту величину называют взаимной информацией пары событий:

.

Если взять , тогда для этой случайной величины можно использовать понятие математического ожидания.

I(A;B)=

Свойства взаимной информации.

1. Взаимная информация положительна.

2. Взаимная информация симметрична относительно пары вероятностных схем.

I(А;B)=I(B;A)

3. Если сообщение A и B – независимы, т.е. не совместны, то взаимная информация I(А;B)=0.

Если сообщения A и B полностью зависимы, а именно совпадают, т.е. A и B содержат одну и ту же информацию, то взаимная информация:

I(А;B)=I(A)+I(B)