1. Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?
2. Что должна включать в себя математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?
3. Какими методами осуществляется исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?
4. Запишите математическую модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n.
5. Какой принцип используется при построении этой модели?
6. К какому типу относится эта модель?
7. Где используются математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных?
8. Что является особенностью математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных?
9. Что должна включать в себя математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных?
10. Какого типа бывают граничные условия?
11. Приведите математическую модель распределения температурного поля в металлическом прутке, нагреваемом с одной стороны.
Лекция 6
Точные величины и зависимости, используемые в детерминированных моделях, представляют собой лишь некоторые средние значения (математические ожидания) реальных случайных величин (зависимостей). Так, физические константы, характеризующие материалы и рабочие тела (предел прочности материала s, теплопроводность l, плотность r и т.д.) меняются в зависимости от партии материала и условий окружающей среды. Всегда имеется определенный разброс размеров деталей l, расходов топлива в системах подачи. Все это приводит к тому, что и результирующие функции, характеризующие процесс, также носят случайный характер. Результаты, полученные с помощью детерминированной модели, представляют собой математические ожидания этих характеристик. При этом конкретные данные для конкретной системы могут существенно отличаться от этих математических ожиданий. Например, ресурс конкретного двигателя может существенно отличаться от среднего ресурса двигателей данного типа. Для учета таких отличий вводятся всевозможные «запасы прочности», призванные гарантировать работоспособность реальных объектов при неблагоприятном стечении обстоятельств.
Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.
При этом константы (s, l, r, l,…) заменяются случайными величинами xs, xl, xr, xl,… , подчиненными определенным законам распределения.
Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика xW, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.
Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.
Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:
1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.
2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.
С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.
Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f(x) и функция распределения R(х) задаются следующими соотношениями:
Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):
;
Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (-¥, х):
.
Для случайной величины x, распределенной по нормальному закону, m = М(x), s = s(x) (Рис. 2.13, 2.14). Случайная величина распределена в интервале m ± 3s. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА.
Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [a, b] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:
Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически.
Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки {xi} из n случайных значений величины х дается соотношениями:
; .
При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.
Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:
,
где n+ – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.
Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.
Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности
.
Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству
, (2.20)
Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.
Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.
Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней (a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).
;
.
; 
.
,
называется выборочной статистикой.
.
, (2.20)
. То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.