Для перевода целого числа из S-й системы счисления в систему счисления с основанием q надо переводимое число последовательно делить на основание q-й системы счисления, в которую это число переводится, до тех пор, пока не будет получено частное, меньше основания q. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.
Пример 1. Переведем число 976 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления (976(10)→ X(2))
976 2
976 488 2
0 488 244 2
0 244 122 2
0 122 61 2
0 60 30 2
1 30 15 2
0 14 7 2
1 6 3 2
1 2 1
976(10)=1111010000(2)
Пример 2. Переведем число 342 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления (342(10) →X(8)):
342 8
336 42 8
6 40 5
342(10)→526(8)
Пример 3. Переведём число 859(10)→ X(16)
859 16
848 53 16
11 48 3
859(10)→35B(16)
Для перевода правильных дробей в систему счисления с основание q умножают исходную дробь (а дальше только дробные части произведения, выделяя целые части) последовательно на основание системы счисления q. Полученные в результате умножения целые части произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием q.
Пример 2.4. Переведем число 0,27(10)→X(16):
0, 27
4 32
5 12
1 92
14 72
0,27(10)→451E(16)
Перевод неправильных дробей в систему счисления с основанием q выполняется отдельно для целой и дробной частей числа по вышеизложенным правилам с последующим соединением этих частей в одну неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.
Пример 2.6. Переведем число 176,325(10)→X(8)
176 8 0, 325
176 22 8 8
0 16 2 2 600
6 8
4 800
6 400
3 200
176.325(10)→260.2463(8)
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения:
Двоичные операции
сложение
вычитание
умножение
0+0=0
0-0=0
0х0=0
0+1=1
1-0=1
0х1=0
1+0=1
1-1=0
1х0=0
1+1=0+ед.переноса
10-1=1
1х1=1
Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. При сложении в каждом разряде в соответствии с таблицей двоичного сложения производится сложение двух цифр слагаемых или двух этих цифр и 1, если имеется перенос из соседнего младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также 1 переноса в старший разряд. Приведем пример сложения двух двоичных чисел:
Переносы
110111.01 55.25
+ 10011.10 + 19.5
1001010.11 74.75
Справа показано сложение тех же чисел, представленных в десятичной системе.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из следующего старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Поясним сказанное примером:
11011,10
1101,01
1110,01
Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1. Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Положение запятой определяется так же, как при умножении десятичных чисел. Сказанное поясняется примером:
1011,1 х 101,01 = 111100,011
х 10101
+ 10111
10111____
Особенности выполнения деления двоичных чисел поясняются следующим примером:
1100,011:10,01 = ? 1100011 |10010
-10010 101,1
-10010
-10010
Благодаря простоте правил двоичного сложения, вычитания и умножения применение в ЭВМ двоичной системы счисления позволяет упростить схемы устройств, выполняющих арифметические операции.
