Задача об оптимальном распределении средств между 2-мя отраслями на N лет

Планируется деятельность двух отраслей производства на N лет. Начальные ресурсы s₀. Средства х, вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль f₁(x) и возвращаются в размере q₁(x) < x; аналогично для II отрасли функция прибыли равна f₂(x), а возврата – q₂(x) < x. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отряслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Процесс распределения средств между двумя отраслями производства разворачивается во времени, решения принимаются в начале года, следовательно, осуществляется деление на шаги: номер шага – номер года. Управляемая система – две отрасли производства, а управление состоит в выделении средств каждой отрасли в очередном году. Параметры состояния к началу k-го года – s_k-1 – количество средств, подлежащих распределению. Переменных управления на каждом шаге две: х_к – количество средств, выделенных I отрасли и у_к – II отрасли. Но так как все средства s_k-1 распределяются , то , и поэтому управление на k – м шаге зависит от одной переменной х_к. Уравнения состояний имеют вид и выражают остаток средств, возвращенных в конце k-го года. Показатель эффективности k-го шага – прибыль, полученная в конце k-го года от обеих отраслей: . Суммарный показатель эффективности – целевая функция задачи – прибыль за N лет: . Оптимальная прибыль за N лет составит . Уравнения Беллмана будут иметь вид:

;

.