1. Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?
2. Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами.
3. Три стрелка стреляют по одной мишени, и каждый попадает или промахивается независимо от результатов выстрелов других стрелков. Вероятности попадания в мишень для каждого из стрелков, соответственно, равны: 0,8; 0,7; 0,5. Определить вероятности следующих событий:
а) все три стрелка попали в мишень;
б) хотя бы один стрелок попал в мишень;
в) в мишень попали два стрелка.
4. Быстро вращающийся диск разделён на одинаковое число секторов, попеременно окрашенных в белый и чёрный цвет. По диску произведён выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадёт в один из чёрных секторов.
5. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомобилей, проезжающих по тому же шоссе, как 5:4. Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0,07; для легкового автомобиля эта вероятность равна 0,13. К бензоколонке подъехал для заправки автомобиль. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.
6. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,005. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит ровно 3 искажения.
7. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0,01. Определить вероятность того, что в партии из 300 деталей будет: а) ровно 7 бракованных; б) не более 7 бракованных.
8. Вероятность события А при одном испытании равна 0,35. Найти вероятность того, что при 200 испытаниях это событие наступит: а) ровно 50 раз; б) не более 50 раз.
9. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Дискретная случайная величина – число отказавших элементов в одном опыте. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 2
1. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть два рядовых–однофамильца Ивановы, назначают в караул 4-х человек. Сколькими различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в карауле будут два Ивановых? В скольких случаях в карауле будет один Иванов? Хотя бы один Иванов?
2. Бросается 5 игральных костей. Найти вероятность того, что на всех костях выпало одинаковое количество очков.
3. В урне 5 белых и 6 чёрных шаров. Из урны без возвращения извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
4. На отрезке L длины 8 м помещён меньший отрезок l длины 5 м. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная на больший отрезок, попадёт также и на меньший отрезок.
5. Студент пришёл на зачёт, зная из 45 вопросов программы только 30. Чему равна вероятность сдачи зачёта, если для этого надо ответить на случайно доставшийся ему вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный ему преподавателем случайным образом?
6. В пирамиде 7 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,75. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
7. Учебник издан тиражом 80 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) ровно 6 бракованных книг; б) не более 6 бракованных книг.
8. В жилом доме имеется 5000 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,6. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет: а) ровно 2000; б) заключено между 2000 и 2500.
9. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна 0,7. У стрелка есть три патрона. При попадании в мишень стрельба прекращается. Дискретная случайная величина – число израсходованных патронов. Найти закон распределения случайной величины, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найти функцию распределения, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 3
1. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по две книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?
2. 10 букв разрезной азбуки: А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т произвольным образом выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МАТЕМАТИКА?
3. Брошено три игральных кости. Найти вероятности следующих событий:
а) выпало три шестёрки;
б) выпало три шестёрки, если известно, что на одной из костей выпала шестёрка.
4. Паркетный пол составлен из прямоугольных плашек размерами 6 на 30 см. Определить вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если её радиус равен 1 см.
5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт хотя бы один стрелок.
6. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчёта автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчёт на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчёта машина не выйдет из строя.
7. В магазин зашли семь покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,3.
8. К пульту охранной системы подключено 4000 датчиков, причём вероятность появления тревожного сигнала на каждом из них равна 0,0005. Определить вероятность тревоги (для чего достаточно хотя бы одного сигнала).
9. В партии из пяти деталей имеется три стандартные. Наудачу отобраны две детали. Дискретная случайная величина – число стандартных деталей среди отобранных. Найти закон распределения случайной величины, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 4
1. Имеется пять кусков материи разных цветов. Сколько различных флагов можно скроить из этих кусков, если каждый флаг состоит из трёх горизонтальных полос разного цвета?
2. В мешке находятся 10 различных пар обуви. Из мешка наугад извлекаются 6 единиц обуви. Найти вероятность того, что в выборку не попадёт двух единиц обуви, составляющих одну пару.
3. Из 20 студентов, находящихся в аудитории, 8 человек курят, 12 носят очки, а 6 и курят и носят очки. Одного из студентов вызвали к доске. Определим события А и В следующим образом: A = {вызванный студент курит}, B = {вызванный носит очки}.
Установить, зависимы события A и B или нет. Сделать предположение о характере влияния курения на зрение.
4. В прямоугольном броневом щите размерами 1,5 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размерами 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадёт в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможное.
5. Устройство состоит из трёх независимо работающих узлов. Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,9, второго – 0,85, третьего – 0,96. Найти вероятность безотказной работы устройства.
6. В тире имеется 10 винтовок, 4 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,65. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наугад взятой винтовки.
7. При массовом производстве элементов электроники вероятность появления брака равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 2000 элементов бракованными будут: а) ровно 3 элемента; б) не более 3 элементов.
8. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 300 новорожденных окажется: а) ровно 150 мальчиков; б) не менее 150 мальчиков.
9. В лотерее 1000 билетов, из них 50 – выигрышные. Куплено 3 билета. Дискретная случайная величина – число выигрышных билетов среди купленных. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры a и b, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 5
1. Сколько можно составить различных семизначных телефонных номеров? Сколько будет номеров, у которых все цифры разные?
2. Найти вероятность того, что среди произвольно выбранных 6-ти человек все имеют дни рождения в разные месяцы.
3. Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что на одной из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали разные грани?
4. В круг радиуса R вписан меньший круг, радиус r которого в два раза меньше R. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт в меньший круг, если попадание точки в любое место большого круга равновозможное.
5. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик.
6. В больницу поступают в среднем 30% больных с заболеванием А, 55% - с заболеванием В, 15% - с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для болезней В и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,6. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием С.
7. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) 4 раза; б) не менее 5 раз.
8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 500 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 400 раз; б) не менее 350 и не более 450 раз.
9. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Дискретная случайная величина – число пассажиров, вышедших на четвертом этаже. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры А и B, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 6
1. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нём 6 открыток?
2. Студент Иванов при подготовке к экзамену из 30-и билетов выучил лишь 20. Группа сдающих экзамен студентов состоит из 16-и человек, причём каждый по очереди берёт один билет, не возвращая его. В каком случае студент Иванов с большей вероятностью сдаст экзамен: если он будет в этой очереди первым или если он будет последним?
3. Истребитель атакует бомбардировщик, делает один выстрел и сбивает бомбардировщик с вероятностью 0,8. Если этим выстрелом бомбардировщик не сбит, то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью 0,7. Если истребитель этим выстрелом не сбит, то он ещё раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятности следующих событий:
а) “сбит бомбардировщик”;
б) “сбит истребитель”;
в) “сбит хотя бы один самолёт”.
4. На плоскость, разграфлённую параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на 10 см, наудачу брошен круг радиуса 3 см. Найти вероятность того, что круг не пересечёт ни одной прямой.
5. Вероятность попадания в некоторую цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, при стрельбе из другого орудия – 0,9. Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий. Цель будет поражена, если будет хотя бы одно попадание из какого – либо орудия.
6. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода – 30%, второго – 50%, третьего – 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.
7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: первый выиграет две партии из четырёх или второй три партии из шести?
8. Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0,005. Найти вероятность того, что из 1000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию: а) 6 пациентов; б) не более 6 пациентов.
9. По каналу связи передаются последовательно три сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого, второго и третьего сообщений соответственно равны 0,01, 0,05 и 0,02. Дискретная случайная величина – число правильно переданных сообщений. Найти закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения и построить её график.
10. Плотность вероятности некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найти коэффициент А, функцию распределения, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики f(x) и F(x).
ВАРИАНТ 7
1. Нужно провести 4 экзамена по различным дисциплинам в течение 20 дней. Сколько существует вариантов расписания экзаменов, если временной промежуток между экзаменами должен быть не меньше 3-х дней?
2. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. Если использовать 10 шурупов, какова вероятность того, что ни один из них не окажется дефектным? Какова вероятность того, что среди них окажется 4 дефектных шурупа?
3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?
4. В квадрат вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат так, что любое её положение в квадрате равновозможное, окажется внутри вписанного круга.
5. Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и третьему предметам у данного студента соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,75. Найти вероятность того, что он успешно сдаст все экзамены.
6. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 4 подготовлены отлично, 3 – хорошо, 2 – удовлетворительно, 1 – плохо. Имеется 30 вопросов, причём: отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 15, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на три заданных ему случайным образом вопроса.
7. Вероятность того, что образец материала выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: а) ровно 5; б) не менее 5.
8. Вероятность того, что после одного учебного года учебник уже нельзя будет использовать в дальнейшем, равна 0,25. Найти вероятность того, что придётся закупить а) ровно 1050 новых учебников б) не более 1050 новых учебников, чтобы к новому учебному году в библиотеке ВУЗа их снова было 4000.
9. Выпадение числа очков на грани игральной кости есть дискретная случайная величина. Составить закон распределения, функцию распределения, найти числовые характеристики этой случайной величины.
10. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определить параметры A, B, C, D, найти выражение для плотности вероятности, числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [0, p/9]. Построить графики F(X) и f(x).
. Построить графики f(x) и F(x).
. Построить графики f(x) и F(x).
. Построить графики f(x) и F(x).
. Построить графики f(x) и F(x).
. Построить графики f(x) и F(x).
