НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу­бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».

Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F(x) называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины Х. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения f(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для f(х) – её плотности распре­деления справедливо равенство .

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

1) f(х) ³ 0;

2) .

Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям.

Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.

2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка: F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂).

Математическое ожидание непрерывной случайной величины: .

Дисперсия непрерывной случайной величины: .

Среднеквадратическое отклонениеНСВ также есть корень квадратный из дисперсии: .