Однородные ДУ первого порядка

Определение: Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом l справедливо тождество: f (lx, ly) = lⁿ× f (x, y).

Определение: Уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Решение однородного ДУ: По условию . Полагая в этом

тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

По определению было уравнение . С учетом получим . Далее делаем подстановку , отсюда , подставляя это выражение в уравнение , получим - это уже уравнение с разделяющимися переменными: . Подставляя после интегрирования вместо u отношение , мы получим зависимость у от х, т.е. решение ДУ.

Линейные ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид : , где f(x), g(x) есть некоторые непрерывные функции переменой х.

Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х ; . Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определяется на основании уравнения .

Дифференцируя обе части равенства , находим, что . Подставляя полученное выражение производной в уравнение , получим или .

Далее, выбираем функцию v(х) такой, чтобы . Найдем какое-нибудь частное решение этого уравнения с разделяющимися переменными, т.е. найдем функцию v(x). Тогда u(x) можно найти из уравнения

( v- известно ).