Приведение метода Зейделя к методу простой итерации.

Дана СЛАУ:

Матричная форма:

Смотрим на первый этап итерационных методов – он предполагает преобразование исходной системы, а именно матрицы А и вектора b к итерационной форме, где С и d – итерационные формы исходных данных.

Переход к итерационному виду осуществляется по следующим формулам:

c_ij = -a_ij/a_ii d_i= b_i/a_ii , где i, j = 1,2,3…

Также следует отметить, что, несмотря на эти формулы, диагональные элементы новой матрицы обнуляются, хотя должны быть равны -1.

В итоге для нашей системы должно получиться:

Это "НО" заключается в следующем. Если мы будем преобразовывать исходную систему к итерационной форме, то она не удовлетворит условию сходимости:

Некоторые элементы матрицы C будут больше единицы. А глядя на условие сходимости, становится понятно, что, если хотя бы один будет больше единицы, то условие не выполнится, и решение системы путем простых итераций не будет найдено.

Поэтому открываем учебник по линейной алгебре и вспоминаем элементарные матричные преобразования! Прежде чем следовать этапам итерационных методов, нужно привести исходную систему к виду, в котором все диагональные элементы были бы максимальными по модулю в своих строках. Только при таком виде матрицы коэффициентов можно надеется на выполнение условия сходимости.

Смотрим нашу начальную систему. Видим, что третий элемент третьей строки по модулю больше других. Оставим его неизменным. Меняем местами первую и вторую строки. Теперь умножаем строку, ставшую первой, на -1 и складываем с новой второй. В итоге получаем:

Теперь при подстановке в формулы мы получим итерационную форму верно. К сожалению, это преобразование начальной системы к "благоприятному" виду - чистая аналитика, поэтому записать его в программный код очень сложно, а если даже и попытаться, то в некоторых случаях вероятно возникновение ошибок.

Переходим ко второму этапу: "Проверка условия сходимости" (формулу смотрите выше). Если система не проходит проверку, то приближения не будут сходиться к реальному решению, и ответ получен не будет. В этом случае можно попытаться получить другую "благоприятную" форму. Если условие сходимости выполнено, то стратегия метода простых итераций применима и осуществляется переход к третьему этапу.

В конечном счете, мы получили систему линейных алгебраических уравнений в итерационной форме:

где x₁, x₂, x₃ – приближения, получаемые на текущей итерации за счет приближений полученных на предыдущей итерации - x⁰₁, x⁰₂, x⁰₃.

Итерационный процесс в методе простых итераций идет до тех пор, пока вектор приближений не достигнет заданной точности, т.е. пока не выполнится условие выхода:

Max|x_i-x⁰_i|<ε, где ε – требуемая точность.