Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Дата добавления: 2014-12-02; просмотров: 971; Нарушение авторских прав

При вычислении очередного (k+1)-го приближения в МПИ в правую часть расчетной формулы (13) подставляется предыдущее, k-ое приближение, т.е. вектор x⁽^k⁾, все компоненты которого имеют одинаковый итерационный индекс: (x₁⁽^k⁾, x₂⁽^k⁾,…, x_n⁽^k⁾). Однако элементы вектора вычисляются последовательно, поэтому , например, при вычислении x₂⁽^k⁺¹⁾ уже вычислен x₁⁽^k⁺¹⁾ в новом приближении. Метод, в котором для подсчета i-ой компоненты (k+1)-ого приближения используются уже найденные на этом, т.е. (k+1)-м шаге, новые значения первых i-1 компонент, называется методом Зейделя. Если приведение системы к итерационному виду сделано как это описано в предыдущем параграфе, то расчетная формула для элементов решения

, i=1,2,…, n.

В развернутом виде метод Зейделя определяется системой равенств:

x₁^(k+1) = (b₁-a₁₂x₂^(k)-a₁₃x₃^(k)-…-a_1nx_n^(k))/a₁₁,

x₂^{(k+1 )}= (b₂-a₂₁x₁^(k+1)-a₂₃x₃^(k)-…-a_2nx_n^(k))/a₂₂,

……………………………………………

x_n^(k+1) = (b_n-a_n1x₁^(k+1)-a_n2x₂^(k+1)-…-a_n,n-1x_n-1^(k+21))/a_nn.

В сравнении с МПИ метод Зейделя сходится быстрее. Кроме того, при его реализации на компьютере не нужен отдельный массив для хранения нового приближения. Вычисленные компоненты нового вектора x⁽^k⁺¹⁾ заносятся на место соответствующих компонент старого вектора x⁽^k⁾, в этой связи метод Зейделя называют методом последовательных смещений. В МПИ нужно целиком сохранять массив значений x⁽^k⁾, подставляемый в правую часть расчетной формулы (13), до тех пор, пока не сформирован полностью новый массив x⁽^k⁺¹⁾ – результат текущего итерационного шага. Поэтому МПИ называют методом одновременных смещений.

Достаточные условия метода Зейделя такие же как и для МПИ.

Процесс итераций продолжаем до тех пор, пока значения x_i⁽^k⁺¹⁾ (i=1,2,…,n) не станут близким к значениям x_i⁽^k⁾ с заданной погрешностью g.

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Сходимость Метода Простых Итераций для решения систем линейных уравнений.	\|	Приведение метода Зейделя к методу простой итерации.