Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

Дата добавления: 2014-12-02; просмотров: 953; Нарушение авторских прав

Альтернативой прямым методам решения СЛАУ являются итерационные методы, основанные на многократном уточнении , заданного приближенного решения системы . Верхним индексом в скобках здесь и далее по тексту обозначается номер итерации (совокупности повторяющихся действий).

Как уже было сказано, в итерационных методах определяется не само решение задачи Ax=b, а некоторая последовательность векторов x⁽^k⁾ (k - номер итерации), такая, что она стремится к ветору решения при k®¥. Чтобы построить такую последовательность, надо прежде всего исходную систему Ax=b преобразовать к виду

x=Bx+f. (12)

Сделать это можно различными способами. Самый простой и распространенный – это выражение каждого диагонального неизвестного из соответствующего по номеру уравнения системы:

т.е. преобразованные матрица B и вектор f имеют вид

, f= .

Задаваясь начальным приближением – вектором x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾_, x₁⁽⁰⁾_,….,x₁⁽⁰⁾_,), получаем

(13)

Такая формула вычисления приближений определяет метод простой итерации – МПИ. Основной вопрос – будет ли последовательность векторов x⁽^k⁾ сходится к решению системы линейных уравнений. Итерации прерываются при выполнении условия где — заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи.

33.Сходимость последовательности векторов и матричной прогрессии

… (1) Сущ. сходимость по элементам и сходимость по нормам.

Вектор наз. пределом последовательности векторов (1), если сущ. каждый из n числовых пределов i=1,2…..n и , …. - числовая последовательность(предел ) Последовательность векторов (1) сходится к вектору по норме,если предел =0

В конечномерном пространстве сходимость по норме эквивалентна сходимости по компонентам.

Лемма Неймана.Условие, что все собственные числа матрицы<1 | – необходимо и достаточно для того, чтобы: и Е+B+ +……+ +…..=(Е-В)^(-1)(обратная матрица.

Лемма 2Если норма ||B||< = q<1, то матрица (Е-B) имеет обратную, такую что Е+B+ +……+ +…..=(Е-В)^(-1), причем || (Е-В)^(-1)||< =1/1-qV= Е+B+ +……+ +….

||V||=||…||< =||E||+||B||+|| ||+||+…+||+|| ||+…<||E||+||B||+|| ||+||+…+||+|| ||<1+q+q^2+…q^n+…+1/1-q

||V||<=1/1-q

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.	\|	Сходимость Метода Простых Итераций для решения систем линейных уравнений.