Теорема о погрешности приближенного решения
Пусть ξ―точный корень, а х*―приближенный корень уравнения f(x)=0, принадлежащие одному и тому же отрезку [a,b]. Если f(x) определена и непрерывна на [a,b] и для всех xÎ[a,b] выполняется неравенство │f '(x)│≥m>0, то справедлива оценка
|х*-ξ|≤│f(x*)│/m,
где m−наименьшее значение модуля производной f '(x) на [a,b]. Доказательство. Применим теорему Лагранжа о конечных приращениях (теорему о среднем значении): если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [x*,ξ] и имеет конечную производную в интервале (x*,ξ), то внутри (x*,ξ) найдется хлтя бы одна такая точка h, для которой
f(x*)-f(ξ)=f '(η)•(x*-ξ), x*≤η≤ξ .
Отсюда получим │х*-ξ│=│f(x*)│∕│f '(η)│≤│ 
│ или │х*-ξ│≤│ 
│.
Теорема доказана. Суть полученной оценки в том, что само значение f(x*) не в полной мере характеризует степень близости х* к корню, следует учитывать также наклон кривой в окрестности приближения. Если производная в этой окрестности достаточно мала, то можно недооценить х*, что иллюстрируется на рис. 5.
Хотя значение f(x*) меньше заданного малого числа e, величина х* еще далека от точного значения корня x.
