Постановка задачи

Дана система нелинейных уравнений с неизвестными:

где , — нелинейные функции, определенные и непрерывные в некоторой области , или в векторном виде (где )

Требуется найти такой вектор , который при подстановке в систему (3.22) превращает каждое уравнение в верное числовое равенство.

Решить методом простых итераций.

для применения метода требуется привести систему (3.22) к равносильному виду:

или в векторной форме

где , функции определены и непрерывны в окрестности изолированного решения системы (3.24).

17.)

Аппроксимацией(приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной.

Функция f(x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям.

· Функция f(x) должна проходить через точки (x_i,y_i), т. е. f(x_i)=y_i ,i=1...n. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией f(x) во внутренних точках между x_i, или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все x_i.

· Функция f(x) должна некоторым образом (например, в виде определенной аналитической зависимости) приближать y(x_i), не обязательно проходя через точки (x_i,y_i). Такова постановка задачи регрессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.

· Функция f(x) должна приближать экспериментальную зависимость y(x_i), учитывая, к тому же, что данные (x_i,y_i) получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция f(x), с помощью того или иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (x_i,y_i). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание - частный случай фильтрации.

Критерии близости функций и могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной илидискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывнойили интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).
2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)