Метод производственной функции

Другой, более сложный математический метод прогнозирования будущих величин затрат на производство и реализацию продукции, а также объема реализации — производственная функция Кобба—Дугласа. Эта производственная функция была открыта в двадцатых годах экономистом Дугласом при содействии математика Кобба. На языке формул она выглядит следующим образом:

,

где Y — индекс производства;

Х₁ – затраты труда;

Х₂ — затраты капитала,

А₀, А₁ — коэффициенты (0 < А < 1).

Практическое применение данной производственной функции покажем на цифровом материале АО «КамАЗ».

Первым шагом является логарифмирование предыдущего уравнения:

lnY = lnА₀ + А₁ х ln X₁ + (1 – А₁) х ln X₂.

Используя данные на начало и конец отчетного периода, получаем два уравнения:

1) ln 198337421 = ln A₀ + А₁ х ln 3141533 + (1 – A₁) x ln 294870091;

2) ln 247463152 = ln A₀ + А₁ х ln 3451048 + (1 – A₁) х ln 379305790

или

1) 19,10548 = ln A₀ + А₁ х 14,96022 + (1 – А₁) х 19,50205;

2) 19,32677 = ln A₀ + А₁ х 15,05419 + (1 – А₁) х 19,75385.

Преобразуем полученные уравнения:

1) 19,10548 - 19,50205 = In A₀ + А₁ х 14,96022 – A₁ х 19,50205;

2) 19,32677 - 19,75385 = In A₀ + А₁ х 15,05419 – A₁ х 19,75385.

В результате имеем

1) -0,39657 = ln A₀ + А₁ х 14,96022 – А₁ х 19,50205;

2) -0,42708 = ln A₀ + А₁ х 15,05419 –А₁ х 19,75385.

Умножим оба уравнения на (—1):

1) 0,39657 = 4,54183 х А₁ – lnA₀;

2) 0,42708 = 4,69966 х А₁ - ln A₀

При ln A₀ = Х₁ и A₁ = X₂ получаем систему уравнений

0,39657 = 4,54183 х X₂ - X₁;

0,42708 = 4,69966 х X₂ – Х₁

Вычитая из второго уравнения первое, найдем Х₂

0,03516= 0,15784 х Х₂

X₂ = A₁ = 0,19333.

Отсюда показатель степени 1 — А₁ – 0,80666.

Подставим полученное значение X₂ в первое уравнение и найдем Х₁:

X₁ = 4,54183 х 0,19333 - 0,39657;

X₁ = ln A₀ =0,48152.

Отсюда A₀ = 1,61853.

Итак, мы получили показатели степеней для факторных признаков, однако необходимо произвести их проверку:

;

Y = 161853 x 3141533^0.19333 x 294870091^0.80666;

Y= 198337421.

Такие расчеты можно автоматизировать (табл. 8.13), что существенно расширяет возможности применения данного метода.

После нахождения показателей степеней можно посмотреть, как будет варьировать результирующий признак при изменении факторных признаков — затрат труда и капитала (см. табл. 8.13).

Изменение фактора труда на 1010000 тыс. руб. повлекло за собой рост выручки от реализации продукции, который составил 12591403,018 тыс. руб. А изменение на ту же сумму затрат капитала снизило размер выручки на 44931742,745 тыс. руб., что доказывает большую силу влияния на результирующий признак фактора затрат труда.

Таблица 8.13

Прогноз выручки от реализации продукции с учетом факторов труда и капитала

(тыс. руб.)

Примечание: Х— изменяемый фактор.

Изменяя факторные признаки, можно определить наиболее выгодные пропорции между затратами труда и капитала на перспективу.