Позиционные системы счисления

Система счисления – способ представления чисел посредством цифровых знаков. Существуют два типа систем счисления: позиционные (например: десятичная) и непозиционные (например: римская). В современной практике используются только позиционные системы счисления, поэтому далее рассматриваем только их.

Всякая позиционная система счисления характеризуется основанием – количеством различных цифр, используемых для записи чисел. Значение каждой цифры, входящей в состав числа, зависит от её места (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Десятичная система счисления, которая используется в повседневной практике, использует для записи чисел десять цифр (от 0 до 9).

Для составляющих ЭВМ элементов характерно два устойчивых состояния, поэтому в двоичной системе счисления используются только две цифры (0 и 1).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления вспомогательные и применяются для записи машинных команд, некоторых констант и удобства программирования. Они удобны тем, что требуют для записи чисел соответственно в три и четыре раза меньше цифр, а перевод таких чисел в двоичную систему очень прост.

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2,…,7.

В шестнадцатеричной системе счисления для обозначения используется 16 различных цифр (0 – 15). А так как в десятичной системе имеется лишь 10 базовых цифр (0 – 9), то для обозначения остальных цифр берутся прописные латинские буквы: А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15.

В общем виде число А=a_na_n-1…a₀a_-1a_-2…a_-m представляет сумму произведений степеней основания системы на коэффициенты, указанные в цифровых разрядах:

A_q= a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 +…+ a_iqⁱ +…+ a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + … +a_-mq^-m ,

Вычисления в десятичной системе счисления являются наиболее удобными (для людей, но не для компьютеров). Поэтому для перевода числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему его представляют, используя приведённую выше позиционную запись числа, как сумму степеней основания q, которую затем подсчитывают.

Пример. Двоичное число 1101011 перевести в десятичную систему счисления

1 1 0 1 0 1 1 2 = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 107₁₀

Перевести в десятичную систему счисления восьмеричную дробь, в десятичном числе представлены только 4 значащие цифры .