Использование законов природы

Основные подходы к моделированию

Обзор перечисленных моделей говорит о большом их многообразии и проникновении математики в трудноформализуемые области. В связи с этим возникает вопрос о существовании общих подходов к моделированию. Рассмотрим основные из них.

Пример 1. Всплытие подводной лодки (используются законы Архимеда и Ньютона).

Рис. 3.1 Всплытие подводной лодки

Предположим, что в момент времени t = 0, когда лодка находится на глубине H и движется по горизонтали с постоянной скоростью n, получен приказ о подъеме (рис. 3.1). Временем вытеснения воды из цистерн и заполнением их воздухом пренебрегаем, таким образом, в момент времени t = 0 начинает действовать выталкивающая сила.

Требуется определить вид траектории всплытия лодки.

По закону Архимеда: ,

где g = 9,81 м/с²;

V – объём лодки;

r₀ – плотность воды.

В соответствии со вторым законом Ньютона можно записать:

,

где r₁ – плотность лодки;

r₁V – масса лодки;

F– сила Архимеда;

– ускорение;

P– вес лодки.

Решением уравнения второго закона Ньютона является:

.

С учетом и получим уравнение искомой траектории:

.

Таким образом, траектория всплытия лодки представляет собой параболу с вершиной в точке .

Пример 2. Полет ракеты (используется закон сохранения количества движения (импульса)).

Рассмотрим некоторый момент времени t и интервал dt, согласно закону сохранения количества движения можно записать:

,

где V – скорость ракеты;

m – масса ракеты;

U – скорость выброса сгораемого топлива.

Делением обеих частей на dt последнее уравнение преобразуется к дифференциальному уравнению:

.

Решение уравнения является функция:

,

где m₀ – начальная масса;

m(t) – масса в момент .

Максимальная скорость:

,

где m_П – масса полезная;

m_K – масса конструкции.

Для одноступенчатой ракеты . Получается, что даже без полезного груза (m_П = 0) при реальной скорости истечения газов () максимальная скорость будет равна:, т.е., скорость ракеты меньше, чем первая космическая скорость, что говорит о невозможности выхода на орбиту.

Таким образом, для решения этой задачи необходимо использовать многоступенчатые ракеты.