Вопросам моделирования (в первую очередь, математического) посвящена обширная литература, однако составить строгую единую классификацию математических моделей, различающихся по назначению, используемой информации, технологии конструирования и т.п., достаточно сложно, хотя версии таких классификаций существуют.
Например, В.В.Налимов [1971] делит математические модели на два класса – теоретические (априорные)иописательные (апостериорные).
Можно перечислить и другие основания для классификации моделей:
природа моделируемого объекта и уровень его детализации;
используемый логический метод: дедукция (от общего к частному) или индукция (от частных, отдельных факторов к обобщающим);
статический подход или анализ динамики временных рядов (последний, в свою очередь, может быть ретроспективным или носить прогнозный характер);
используемая математическая парадигма (детерминированная и стохастическая).
Наконец, по целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации и просто для удобства последующего изложения все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса:
аналитические (априорные);
имитационные (априорно-апостериорные) модели;
эмпирико-статистические (апостериорные) модели;
модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).
Обобщим классификацию моделей.
Классификацию моделей проведем по следующим признакам.
1. По цели использования:
- дескриптивные (описательные);
- оптимизационные.
Примеры дескриптивных и оптимизационных моделей будут рассмотрены ниже.
2. По природе моделей:
- предметные (материальные):
- физические (копии), например, макет самолета;
- аналоговые (аналоги), например, маятник как аналог колебательного контура;
- символьные (знаковые):
- концептуальные (словесные);
- схемографические;
- математические;
- компьютерные.
3. По возможности представления работы системы во времени:
- статические;
- динамические.
Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.
Пример. Закон Ньютона F = a∙m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.
Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.
Пример. Модель S = g∙t2/2 - динамическая модель пути при свободном падении тела.
4. В зависимости от времени:
- дискретные;
- непрерывные.
Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.
Пример. Если рассматривать только t = 0, 1, 2, ..., 10 (сек), то модель St = g∙t2/2 или числовая последовательность S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, …, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.
Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.
Пример. Модель S = g∙t2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0…100).
5. По учёту случайностей:
- детерминированные,
- стохастические.
Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров, в противном случае - модель недетерминированная, т.е. стохастическая (вероятностная).
Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = g∙t2/2, мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела, например, так: S(p) = g(p)t2/2, то получили бы стохастическуюмодель.
6. По целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации:
- аналитические;
- имитационные;
- статистические;
- модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).
Аналитические модели – один из классов математического моделирования. При построении таких моделей исследователь сознательно отказывается от детального описания системы, оставляя лишь наиболее существенные, с его точки зрения, компоненты и связи между ними, и использует достаточно малое число правдоподобных гипотез о характере взаимодействия компонентов и структуры системы.
Аналитические модели служат, в основном, целям выявления, математического описания, анализа и объяснения свойств, присущих максимально широкому кругу систем.
Имитационные модели – также один из основных классов математического моделирования. Целью построения имитаций является максимальное приближение модели к конкретному техническому объекту и достижение максимальной точности его описания. Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогнозных функций, хотя выполнение первых для больших и сложных имитаций проблематично (для удачных имитационных моделей можно говорить лишь о косвенном подтверждении непротиворечивости положенных в их основу гипотез).
Имитационные модели реализуются на ЭВМ с использованием блочного принципа, позволяющего всю моделируемую систему разбить на ряд подсистем, связанных между собой незначительным числом обобщенных взаимодействий и допускающих самостоятельное моделирование с использованием своего собственного математического аппарата. Такой подход позволяет также достаточно просто конструировать, путем замены отдельных блоков, новые имитационные модели.
Статистические моделиобъединяют в себе практически все методы первичной обработки экспериментальной информации. Основная цель построения этих моделей состоит в следующем:
- упорядочение или агрегирование информации;
- поиск, количественная оценка и содержательная интерпретация причинно-следственных отношений между переменными системы;
- оценка достоверности и продуктивности различных гипотез о взаимном влиянии наблюдаемых явлений и воздействующих факторов;
Часто статистические модели являются обоснованием подходов к построению моделей других типов (в первую очередь, имитационных).
Важным методологическим вопросом являетсяопределениехарактера зависимости между факторами и результативными показателями: функциональная она или стохастическая, прямая или обратная, линейная или нелинейная и т.д. Здесь используются теоретико-статистические критерии, практический опыт, а также способы сравнения параллельных и динамичных рядов, аналитических группировок исходной информации, графические методы и др.
Детерминированный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит явно выраженный функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представляется в виде произведения, частного или алгебраической суммы исходных факторов. В этих случаях исследователь сам берет на себя ответственность в том, что:
- причинно-следственная связь между изучаемыми явлениями действительно существует;
- эта связь носит именно постулируемый функциональный характер (аддитивный, мультипликативный, кратный или смешанный с заранее подобранными коэффициентами, отражающими субъективный опыт разработчика).
Стохастический анализ представляет собой обширный класс методов, опирающихся на теоретико-вероятностные представления, теоремы, критерии и методы параметрической и непараметрической статистики. Исходный объект в любой системе обработки данных – это эмпирический ряд наблюдений или выборка. Выборки, описывающие явления и процессы в системе, находятся во взаимосвязи, взаимозависимости и обусловленности. При этом каждое явление можно рассматривать и как причину, и как следствие. Одни выборки могут быть непосредственно связаны между собой, образуя подмножества сопряженных данных, другие могут соотноситься друг с другом косвенно.
На основе приведенной классификации можно выделить следующие виды моделирования:
- аналитическое;
- имитационное;
- статистическое.
Аналитическое моделирование связано с получением явных или неявныхзависимостей между интересующими параметрами и расчетами по этим зависимостям.
Имитационное моделирование (поведенческое) – имитация работы объекта, т.е. развертывание его во времени.
Статистическое моделирование – многократное повторяющаяся имитация работы, с последующим определением усредненных значений параметров.
Покажем разницу между аналитическим, имитационным и статическим моделированием.
Предположим, что поставлена задача – оценить среднее время безотказной работы. Эксперимент заключается в том, что на испытание ставятся N объектов и испытания продолжаются время Т.
Если было бы известна плотность распределения оценки, то процесс моделирования сводился бы к расчету числовых значений. Это было бы аналитическое моделирование.
Обычно такой информации нет, и их приходится получать с помощью имитационного и статистического моделирования.
Моделируется процесс испытаний, например, факт появления отказа объекта (имитационное моделирование) и далее этот процесс многократно повторяется (статистическое моделирование).
При каждом повторе определяется оценка, квадрат отклонения этой оценки от истинного значения, статистические среднее время безотказной работы и среднеквадратическое отклонение.
При правильном применении, математический подход не отличается существенно от подхода, основанного на "традиционном здравом смысле". Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий. В конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их. В тех случаях, когда установлено постоянное и удовлетворительно точное согласие между математической моделью и опытом, такая модель приобретает практическую ценность. Эта ценность может быть достаточно велика, вне зависимости от того, представляет ли сама модель чисто математический интерес.
Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей).
Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ.
В процессе разработки модели можно выделить три этапа:
