Лекция 2. Форма и принципы представления математических моделей
Моделирование – это один из важнейших методов научного познания, с помощью которого создается модель (условный образ) объекта исследования.
Моделирование базируется на математической теории подобия, согласно которой абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании большинства систем абсолютное подобие невозможно, и основное требование к моделированию - модель достаточно хорошо должна отображать функционирование моделируемой системы.
Понятие "модель" используется очень часто и смысл его понятен на интуитивном уровне.
Приведем примеры различных моделей: макет какого-либо объекта; плакат, демонстрирующий устройство и работу механизма; колебательный контур, работающий аналогично маятнику; глобус; уравнения, описывающие движение планет в солнечной системе; двоичный канал связи и т.д.
Таким образом, модель – это аналог реального объекта в виде материального объекта или представляемый мысленно или записанный на каком-то языке.
Под моделированием понимается как процесс получения модели, так и ее применение для исследования поведения и свойств моделируемой системы.
При моделировании необходимо учитывать, что все модели приближенны и ни одна из них не отражает всех особенностей системы. Модель во многом зависит от опыта, знаний, интуиции исследователя.
Ввиду того, что модель заменяет систему в изучении ее свойств и поведения можно отметить следующие цели создания моделей:
- обогащение знаний о системе (описание и анализ наблюдений),
- управление (принятие решений),
- прогнозирование,
- обучение (модель как основная часть тренажера).
Очевидно, что в общем случае, одна и та же модель может применяться для достижения различных целей.
Процесс построения математической модели включает в себя следующие типовые этапы:
определение целей моделирования;
качественный анализ системы, исходя из этих целей;
формулировка законов и правдоподобных гипотез относительно структуры системы, механизмов ее поведения в целом или отдельных частей (при самоорганизации эти законы "находит" компьютер);
идентификация модели (определение ее параметров);
верификация модели (проверка ее работоспособности и оценка степени адекватности реальной системе);
исследование модели (анализ устойчивости ее решений, чувствительности к изменениям параметров и пр.) и эксперимент с ней.
Можно выделить следующие принципы моделирования:
Принцип несоответствия точности и сложности, который предложил Л. Заде (1974) и который формулируется следующим образом: понятия "точности" и "сложности" при прогнозировании структуры и поведения систем связаны обратной зависимостью – чем глубже анализируется реальная система, тем менее определенны наши суждения о ее поведении.
Принцип множественности моделей, предложенный В.В. Налимовым (1971): для объяснения и предсказания структуры и (или) поведения сложной системы возможно построение нескольких моделей, имеющих одинаковое право на существование;
Принцип омнипотентности факторов: ни в одной из них нельзя учесть наиболее значимые факторы;
Принцип контринтуитивного поведения сложных систем(Дж. Форрестера): в конечном итоге система ведет себя совсем не так, как предсказывает модель.
Модель должна иметь конкретные цели. Условно такие цели можно подразделить на три основных группы:
1) компактное описание наблюдений;
2) анализ наблюдений (объяснение явлений);
3) предсказание на основе наблюдений (прогнозирование).
Нередко бывает так, что одну и ту же модель можно воспринимать сразу в трех "ипостасях", т.е. используя ее и для описания, и для анализа, и для предсказания. К примеру, логистической регрессией мы описываем параметры генеральной совокупности, но одновременно мы и анализируем взаимосвязи в этой совокупности, результат же логистической регрессии мы применяем для предсказания. Показано [Розенберг с соавт., 1999], что для сложных свойств сложных систем нельзя ожидать аналогичного успеха: одна модель (один закон) будет не в состоянии одновременно удовлетворительно выполнять как объяснительную, так и предсказательную функцию (принцип разделения функций описания и прогнозирования). Для объяснения необходимы простые модели, и здесь, по меткому выражению У.Р. Эшби [1966], “...в будущем теоретик систем должен стать экспертом по упрощению”. Что касается экологического прогнозирования, то “сложность модели для сложных объектов принципиально необходима” [Ивахненко с соавт., 1980].
При правильном применении, математический подход не отличается существенно от подхода, основанного на "традиционном здравом смысле". Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий. В конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их. В тех случаях, когда установлено постоянное и удовлетворительно точное согласие между математической моделью и опытом, такая модель приобретает практическую ценность. Эта ценность может быть достаточно велика, вне зависимости от того, представляет ли сама модель чисто математический интерес.
Несовместимость "простоты" модели и точности решения задачи проявляется в высказывании академика А.А. Самарского [1979]: “... исследователь постоянно находится между Сциллой усложненности и Харибдой недостоверности. С одной стороны, построенная им модель должна быть простой в математическом отношении, чтобы ее можно было исследовать имеющимися средствами. С другой стороны, в результате всех упрощений она не должна утратить и "рациональное зерно", существо проблемы”. В этом высказывании заложен самый важный, на наш взгляд, принцип математического моделирования:
Любая модель должна иметьоптимальную сложность, необходимую и достаточную для решения поставленной задачи, – который восходит своими корнями к "бритве Оккама".
Принцип "бритвы Оккама" был сформулирован в XIV веке английским философом Уильямом Оккамом в следующем виде: frustra fit plura, quod fieri potest pauciora - частностей должно быть не больше, чем их необходимо.
Принцип одномерности конечного решения
Смысл моделирования заключается в получении некоторого решения, в общем случае многомерного.
Пусть, например, {X} – множество решений, которое может быть получено с помощью модели, а x – некоторое определенное решение, принадлежащее этому множеству.
Тогда считается, что для всех x может быть задана функция: q(x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.п.), обладающая тем свойством, что если решение x1 предпочтительнее x2, то:
q(x1) > q(x2).
При этом выбор сводится к отысканию решения с наибольшим значением критериальной функции. Например, наиболее популярным критерием в статистике является степень отклонения расчетных значений от эмпирических данных, которая оценивается методом наименьших квадратов.
Однако на практике использование лишь одного критерия для сравнения степени предпочтительности решений оказывается неоправданным упрощением, т.к. сложный характер технических систем приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по многим критериям, которые могут иметь различную природу и качественно отличаться друг от друга. В то же время, рискнем предположить, что, какова бы не была сложность моделируемой системы, конечное решение всегда можно (и должно) найти в виде некоторого значения на предварительно обозначенной шкале одного целевого критерия – в этом и состоит принцип одномерности конечного решения.
Принцип одномерности конечного решения тесно связан с принципом рекуррентного объяснения [Флейшман, 1982; Розенберг с соавт.,1999], который отражает иерархическую организацию моделей систем: свойства и решения, получаемые для подсистем каждого уровня, выводятся (объясняются), исходя из постулируемых свойств элементов нижестоящего уровня иерархии.
Многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому предлагается много способов придать многокритериальной задаче частный вид, допускающий единственное общее решение. Эти методы связаны, как правило, с условной максимизацией или сведением многокритериальной задачи к однокритериальной путем ввода суперкритерия.
Введем, например, суперкритерий q0(x), как скалярную функцию векторного аргумента в пространстве решений:
q0(x)= q0((q1(x), q2(x), …, qn(x)) .
Суперкритерий позволяет упорядочить частные решения по величине q0, выделив тем самым наилучшие из них (в смысле этого критерия). Вид функции q0 определяется тем, как конкретно мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно используют аддитивные и мультипликативные функции:
.
Естественно, что для разных способов эти решения являются в общем случае различными. Поэтому едва ли не главное в решении многокритериальной задачи – обоснование данного вида ее постановки, которое делается чаще всего неформальными экспертными методами.
Альтернативой единственному обобщенному показателю является математический аппарат типа многокритериальной оптимизации – множества Парето и т.д.
.