Теоретический материал

Рисунок 3 - Граф переходов изделия в возможные его состояния

В практике исследования надежности имеют место случайные процессы, т.е. процессы перехода изделия из одного состояния в другое. Поток событий- совокупность переходов. Наиболее подходящий способ представления переходов в различные состояния - граф переходов. [3] В качестве примера на рис 2 представлен граф переходов для следующих условий.

Система, состоящая из двух подсистем, может находиться в следующих состояниях:

1) все части системы исправны;

2) подсистема 1 отказала и поставлена на ремонт (вероятность ее отказа равна , вероятность восстановления равна
);

3) подсистема 2 отказала и поставлена на ремонт (вероятность ее отказа равна , вероятность восстановления равна );

4) отказ подсистем 1 и 2, т.е. отказ системы.

Вероятность перехода из второго состояния в четвертое ; вероятность перехода из третьего состояния в четвертое ; Вероятность перехода системы из четвертого состояния в третье , а из четвертого во второе . Вероятность того, что система остается в некотором i-м состоянии, обозначаются .

Граф переходов может быть представлен либо матрицей переходов, либо системой уравнений.

Матрица перехода для графа, изображенного на рисунке 2, имеет следующий вид:

По строкам матрицы расположены вероятности перехода из i-го состояния в j-е состояние, либо сохранение i-го состояния.

Первое уравнение системы читается следующим образом: вероятность того, что система за время (t+ ) не выйдет из первого состояния, равна произведению вероятности того, что система находилась в момент времени t в первом состоянии и не перейдет из него за время ∆t во второе и третье состояния, плюс вероятности того, что система находилась во втором или третьем состоянии и перейдет из них в первое состояние.

Если вероятности отказов и вероятности восстановления заданы в виде функций интенсивностей, тогда с достаточной для практических целей точностью можно принять

Если в каждом из этих уравнений перенести в левую часть уравнения и учесть, что

то (4) перепишется следующим образом:

Решение (5) можно осуществить, использовав преобразование Лапласа, позволяющее преобразовать систему дифференциальных уравнений.

Существует следующее правило, позволяющее записывать уравнения непосредственно по графу состояния: в левой части уравнения записать (где -вероятность k-го состояния) и в правой части столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то ставится плюс, если из данного состояния- минус. Каждый член равен плотности вероятности потока событий λ, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

Пример. Требуется рассчитать надежность устройства, схема которого изображена на рис. 4.

Вероятность безотказного состояния каждого из элементов за t=100ч равна 0,9.Определить вероятность безотказного состояния устройства за t=100ч.

Решение

1. Составляем перечень возможных событий: состояние первое - элементы 1 и 2 исправны; состояние второе - элемент 1 отказал, элемент 2 работает, состояние третье- элемент 2 отказал, элемент 1 работает, состояние четвертое- отказали элементы 1 и 2.

2. Определяем интенсивности переходов:

3. Составляем граф переходов (рис. 4)

4. Составляем систему дифференциальных уравнений для работоспособных состояний:

5. Решаем систему (6) операторным методом:

Учитывая, что , из (7) получим:

Решение системы (8) будет следующим:

Перейдем от в соответствии с уравнениями перехода

Вероятность безотказного состояния устройства

Р=0,81+0,09+0,09=0,99.

Этот результат можно было получить по формуле для параллельной структуры:

Метод, основанный на составлении графа переходов, можно применять при различных вариантах расчета. Его преимущества заметны тогда, когда производится расчет системы с учетом противодействующих процессов (отказ и восстановление). При этом он становится практически единственно возможным методом.