Задание 1.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Задание 2. Исследовать функцию и построить ее график y = x³ + x² – 5x + 3

Решение.

1) Область определения функции – вся числовая ось.

2) Исследуем функцию на четность:

Получили, что и следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат О_х и О_у, т.е. решим соответственно уравнения f (x) = 0 и y = f (0).

Для нахождения точек пересечения с осью О_х решим уравнение: х³ + х² – 5х + 3 = 0

Один корень находим методом подбора, подставляя вместо х числа 0, и т.д.

Убеждаемся в том, что f (1) = 0, следовательно, х = 1 – корень уравнения.

Многочлен ( х³ + х² – 5х + 3) можно разложить на два множителя, один из которых (х–1). Второй множитель найдем, разделив этот многочлен на (х – 1):

_ х³ + х² – 5х + 3 х -1 _______

х³ – х² х² + 2х - 3

_ 2х² – 5х

2х² - 2х

_ -3х + 3

-3х + 3

0

Второй множитель (х² + 2х – 3). Решив уравнение х² + 2х – 3 = 0, найдем еще два корня исходного уравнения: х₁ = 1; х₂ = -3. Таким образом, получили точки пересечения с осью О_х: (1;0) и (-3; 0)

Для нахождения точек пересечения с осью О_у в данную функцию подставим вместо х число 0, получим: y = f (0) = 0³ + 0² -5 , т.е. точка пересечения с осью О_у имеет координаты (0; 3).

4) Исследуем функцию на асимптоты. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва функции. Наклонные (горизонтальные) асимптоты найдем по формуле:

y = kx + b , где k = , b =

k =

Следовательно, асимптот не существует.

5) Экстремумы и промежутки монотонности.

Решая уравнение f ‘ (x) = 0, находим критические значения аргумента для функции

f (x).

f ‘ (x) = (x² + x² - 5x + 3)’ = 3x² + 2x – 5

f ‘ (x) = 0, т.е. 3x² + 2x – 5 = 0

D = b² – 4 ac = 4 – 4

x₁ = x₂ =

Отмечаем полученные значения на числовой оси и определяем знак производной f ‘ (x) в каждом из промежутков.

Определяем промежутки возрастания и убывания функции; выясняем характер этих критических значений, находим значения функции в этих точках. Для удобства составим таблицу:

x	(-	- 1			( 1 ; +
f ‘ (x)	+		-		+
f (x)		9,5
		MAX		MIN

f (- 1

=

f (1) = 1³ + 1² - 5

6) Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Находим вторую производную и решаем уравнение f “ (x) = 0

f “ (x) = ( 3x² + 2x – 5 ) ‘ = 6 x + 2

f “ (x) = 0 , т.е. 6 x + 2 = 0

6 x = -2

x = -

Отмечаем полученное значение на числовой оси и определяем знак производной f “ (x) в каждом из промежутков.

Устанавливаем промежутки выпуклости графика функции f (x) и находим точки его перегиба. Для удобства составим таблицу:

x
f “ (x)	-		+
f (x)		4,7
	выпукла вверх	точка перегиба	выпукла вниз

f

=

7) Построим график функции, учитывая результаты проведенного исследования.

Для точности построения графика найдем дополнительные точки:

Задание 3. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

Решение. Подставляя вместо х бесконечно большую величину , получаем неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень переменной х ,входящей в это выражение, т.е. на х⁸:

= =

т.к.

б)

Решение. Подставляя вместо х число 2, получаем неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности необходимо числитель и (или) знаменатель разложить на множители и сократить дробь на многочлен, в данном случае на (х – 2):

=

в)

Решение. Подставляя вместо х число 0, получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенностей вида , если выражение содержит тригонометрические функции, используется первый замечательный предел:

г)

Решение. Подставляя вместо х бесконечно большую величину , получаем неопределенность Для раскрытия неопределенностей такого вида применяется второй замечательный предел: или .

Выполнив тождественные алгебраические преобразования, представим выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:

=

д)

Решение. Подставляя вместо переменной х ее предельное значение, т.е. число (-3), получаем:

Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции;

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, нужно исследовать поведение функции на данном отрезке с помощью производной.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a:b]

1. Найти ;

2. Найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a:b] ;

3. Вычислить значения функции в точках, полученных в п.2;

4. Вычислить значения функции на концах отрезка [a:b];

5. выбрать из значений, полученных в п.2 и п.3 наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [a:b] , которые можно обозначить так: .

Задача. Найти наибольшее значение функции

на отрезке [−5; 0].

Решение. Для начала найдем производную: =

Затем решаем уравнение: ⇒ = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].

Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3:

y(−5) = (−5)3 + 4·(−5)2 − 9·(−5) − 7 = −12;

y(−3) = (−3)3 + 4·(−3)2 − 9·(−3) − 7 = 20;

y(0) = 03 + 4·02 − 9·0 − 7 = −7.

Очевидно, наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

Задание 5. Найти производные первого порядка следующих функций:

а)

Решение.

′

=

б)

Решение.

в)

Решение.

г)

Решение.

Задание 6. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием:

a)

Решение. Для нахождения данного интеграла воспользуемся методом непосредственного интегрирования, т.е. вычислим интеграл с помощью табличных интегралов (см. приложение) и основных свойств неопределенных интегралов ( и

)

Применив свойства и формулы табличных интегралов, получаем:

=

.

Проверим правильность полученного результата дифференцированием:

В результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл вычислили верно.

б)

Решение. Воспользуемся методом подстановки (или замены переменной), который заключается в том, что заменяют x на где - непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают

При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную . Для возвращения к переменной необходимо заменить значением , которое находится из соотношения .

Указанную формулу применяют также и в обратном направлении:

,

где - функция, обратная функции .

В данном примере применим подстановку , тогда , т.е. , откуда . Подставив в интеграл, получаем

Проверим правильность полученного результата дифференцированием:

В результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл вычислили верно.

в)

Решение. Для нахождения данного интеграла применим метод интегрирования по частям, т.е. будем находить интеграл по формуле

,

где - непрерывно дифференцируемые функции от . Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

При решении данного интеграла положим , . Тогда ; , откуда Затем воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Проверим правильность полученного результата дифференцированием:

В результате дифференцирования получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл вычислили верно.