(1.2)
Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором 
, где 
-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что 
Наоборот, если ряд расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что 
Доказательство. Пусть числовой ряд 
(1.3) сходится. Поэтому 
, значит, существует такое число M, что 
для всех n=0,1,2,…
Рассмотрим теперь ряд 
(1.4). Предполагая, что 
следует 
и при этом 
то члены ряда (1.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда
(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.
Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.
