Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе. Разобьем область D на n частичных областей D1, D2, ..., Dn. Их площади обозначим через σ1, σ2, ..., σn. Наибольшую хорду (отрезок, соединяющий две точки границы области) каждой из областей назовем ее диаметром. Через h обозначим диаметр, наибольший из всех n диаметров. В каждой частичной области возьмем по точке (P1(x1; y1) в области D1, P2 (x2; y2) в области D2 , и т.д.). Составим интегральную сумму:
Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю. Конечный предел последовательности Sn (если он существует) при h → 0 , который не зависит ни от способа разбиения области D , ни от выбора точек P1, P2, ..., Pn, называется двойным интегралом функции f(x,y) и обозначается
.
Функция f(x,y) называется интегрируемой функцией на области D . Область D называется областью интегрирования.
Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.
