Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение.Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие: А× А^-1= А^-1×А=Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А^-1 матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Определение.Квадратная матрица А= называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение.Присоединенной матрицей к матрице А называется матрица вида:

= , где А_ij-алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Находят обратную матрицу по формуле: А^-1_{= .}

Пример 3.1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3×(-1)¹⁺¹ +0×(-1)²⁺¹ +1×(-1)³⁺¹ =3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. ¹0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

2. Найдем транспонированную матрицу.

А^Т=

3. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)¹⁺¹ =12-4=8

= (-1)¹⁺² = -(4-4)= 0

= (-1)¹⁺³ = 2-6= -4

= (-1)²⁺¹ = -(0-2)=2

= (-1)²⁺² = 12-2=10

= (-1)²⁺³ = -(6-0)= -6

= (-1)³⁺¹ = 0-3= -3

= (-1)³⁺² = -(6-1)= -5

= (-1)³⁺³ = 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А^-1_{= .}

А^-1= = .