Матричное представление линейных кодов

В п. 2.3.2 образующая матрица (2.13) составлена путем простого подбора КВ в соответствии с предъявляемыми к ним требованиями. Такое решение задачи приемлемо при небольшом объеме кода, но становится малопригодным при его существенном увеличении. Соответственно, возникнут трудности и при составлении контрольной матрицы H.

Для упрощения указанных операций групповые коды удобно задавать матрицами, размерность которых определяется параметрами кода и . Число строк матрицы равно , число столбцов равно .

Теорией и практикой установлено, что для упрощения процесса кодирования наиболее удобно, чтобы порождающая матрица состояла из двух матриц: единичной матрицы размерности и дописываемой справа матрицы-дополнения (контрольной подматрицы) размерности , которая соответствует проверочным разрядам:

(2.22)

Единичной матрицей I называется квадратная матрица, у которой по одной из диагоналей расположены только единицы, а все остальные элементы равны нулю.

При составлении матрицы рекомендуется из всех возможных m-значных кодовых комбинаций в качестве строк матрицы выбирать комбинации, обладающие наибольшим весом. Это обеспечивает требуемое кодовое расстояние между КВ матрицы , а использование в единичной матрицы гарантирует их линейную независимость.

По известной матрице контрольная матрица Н определяется в соответствии с выражением:

, (2.23)

где – транспонированная матрица (в транспонированной матрице строками являются столбцы, а столбцами – строки исходной матрицы );

– единичная матрица размером .

Пример. Построить контрольную матрицу Н для линейного -кода, исправляющего все одиночные ошибки, если требуемый объем кода Q=25.

Решение:

1. Определяем требуемое число информационных разрядов

,

2. Определяем требуемое число контрольных разрядов m в соответствии с (2.11):

.

Следовательно, . Код .

Строим матрицу в соответствии с (2.22):

(2.24)

По известной матрице строим контрольную матрицу в соответствии с (2.23):

(2.25)