Синдромный метод декодирования

Декодирование линейных кодов, так же как и кодирование, основано на использовании контрольной матрицы . Наиболее распространенным методом декодирования является метод синдромного декодирования. Данный метод основан на использовании так называемых синдромов ошибок, представляющих собой m-значные двоичные числа, разряды которых являются скалярными произведениями векторов ошибок на векторы контрольной матрицы.

Вектор ошибки представляет собой n-значное двоичное число, содержащее 1 в разряде, где есть ошибка, и 0 во всех остальных разрядах. В качестве примера найдем синдром ошибки в 3-м разряде:

		–				–				–
	–			–			–

Итак, синдромом ошибки в 3-м разряде является комбинация 110. Действуя аналогично, можно найти синдромы ошибок во всех остальных разрядах. Характерным является то, что синдром ошибки i-го разряда совпадает с i-м столбцом контрольной матрицы, поэтому в запоминающем устройстве декодера достаточно хранить только контрольную матрицу.

При приеме с помощью принятого КВ и векторов контрольной матрицы вычисляется синдром. Если ошибки нет, то синдром будет нулевой. Во всех остальных случаях получается синдром, совпадающий с синдромом ошибки в соответствующем разряде. Это следует из того, что искаженную кодовую комбинацию можно представить как сумму по модулю 2 вектора ошибки и неискаженного КВ , т.е. . Умножив искаженный КВ на векторы контрольной матрицы , , получим:

.

Но в силу ортогональности разрешенных КВ и векторов контрольной матрицы. Следовательно, , что и требуется. Таким образом, определив синдром принятой комбинации можно однозначно указать номер разряда, в котором произошла ошибка.

Пример 1

Из канала связи поступила комбинация . Контрольная матрица имеет вид:

(2.19)

Определить, какое число передавалось.

Решение

1. Определяем синдром:

		–				–				–
	–			–			–

Итак, синдром ошибки 000, значит, передача прошла без искажений.

2. По матрице определяем расположение контрольных разрядов и отбрасываем их:

3. Находим десятичный эквивалент:

Пример 2.

Из канала связи поступила комбинация . Контрольная матрица та же, что и в примере 1. Определить, какое число передавалось.

Решение

1. Определяем синдром:

		–				–				–
	–			–			–

Итак, синдром ошибки 011. Не нулевой, следовательно, есть ошибка.

2. По контрольной матрице выясняем, что синдром совпадает со вторым столбцом, значит, ошибочным является 2-ой разряд принятого КВ.

3. Инвертируем искаженный разряд: .

4. Отбрасываем контрольные символы и переводим информационную часть в десятичное число: .