Математическая и компьютерная модели для выявления и оценки связей и зависимостей между показателями экономических объектов методом статистических группировок
Возможности моделей на выполнение прямых экономических расчетов для анализа связей, зависимостей или тенденции и их использования в целях планирования и прогнозирования крайне ограничены.
Если для какого-то экономического объекта (предприятия, региона, отрасли, народного хозяйства) по рассмотренной выше модели выполнить соответствующие расчеты, то трудно выявить какие-либо связи, зависимости или тенденции. Тенденций нельзя выявить, поскольку в модели не представлен фактор времени. Даже величины показателей эффективности, рассчитанные для отдельного экономического объекта за фиксированный период времени (например, за месяц, квартал, год), не дают представления об их зависимости от показателей-факторов (независимых переменных). Причина состоит в том, что в задаче отсутствуют важнейшее составляющее, без которого невозможно говорить о связях, зависимостях и тенденциях. Речь идет о статистической совокупности данных.
Статистической совокупностью называется совокупность объектов или явлений одного и того же типа, объединенных определенным признаком (признак - характеристика объекта или явления, по которому его отличают от других объектов и явлений). Следует различать генеральную и выборочную совокупности. Под генеральной совокупностью понимают всю изучаемую совокупность объектов и явлений, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные. Выборочной совокупностью называют часть объектов (явлений) из генеральной совокупности, отобранных для изучения с тем, чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
Различают три вида статистических данных: пространственные, ряды динамики и панельные.
Пространственными данными называют совокупность показателей однотипных объектов за отдельный период времени. Пространственными данными являются, например, величины двух и более предприятий какой-либо отрасли (регионов, страны и др.) за какой-либо год. Рядами динамики принято называть совокупность данных, выражающих величины двух и более показателей отдельного экономического объекта (предприятия, отрасли, региона и др.) за ряд последовательных периодов времени (например, за 5-10 и более лет). Массивы данных двух показателей, из которых в качестве независимого показателя выступает фактор времени t=1,2,...T, а в качестве зависимого – какой-либо экономический показатель, называют временным рядом. Панельными называются данные, состоящие из наблюдений за одними и теми же однотипными статистическими объектами в течение двух и более временных периодов.
Одним из традиционных методов выявления связей, зависимостей и тенденций является метод статистических группировок.
Группировка – это расчленение совокупности данных на группы с целью изучения ее структуры или взаимосвязей между компонентами. В процессе группировки единицы совокупности распределяются по группам в соответствии со следующим принципом: различие между единицами, отнесенными к одной группе, должно быть меньше, чем различие между единицами, отнесенными к разным группам.
Длина интервала группировки может быть одним и тем же или разным.
Выбор длины с равными интервалами предпочтительнее, так как он лишен субъективизма. В этом случае для определения длины интервала можно использовать формулы Стерджеса:
k = 1+3,32*lg N; i=(Xmax – Xmin)/k,
где Хmax,Xmin - максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности; k - число групп; N - число объектов (наблюдений) в совокупности.
В соответствии с формулами Стерджеса между количеством групп и числом наблюдений существует следующее соотношение:
Число наблюдений
3-5
6-11
12-21
22-46
47-87
88-175
176-350
351-702
Число групп
Когда объектов в статистической совокупности много применяют метод многоуровневых группировок.
Анализ методом группировок предполагает выполнение следующих шагов:
- выбирается показатель, принимаемый за групповой признак;
- объекты совокупности располагаются в порядке возрастания или убывания показателя, принятого за признак группировки;
- определяется количество групп и длина интервала;
- определяется перечень показателей, подлежащих анализу, а также показателей, между которыми выявляется наличие связей или зависимостей;
- разрабатывается математическая модель для расчетных показателей;
- разрабатывается компьютерная модель для выполнения всех расчетов для одной из групп объектов;
- с помощью созданной компьютерной модели выполняются расчеты для всех групп объектов;
- результаты, полученные с помощью компьютерной модели, сводятся в аналитические таблицы.
Сущность компьютерной модели, реализующей метод группировок, проиллюстрируем на примере четырех показателей (ВРП, стоимость основных фондов, численность занятых, объем инвестиций) регионов России за 2009г. В качестве признака группировки примем ВРП, а в качестве статистической совокупности - 28 средних регионов с величиной ВРП от 127,0 до 298,1 млрд. руб. Компьютерная модель реализуется в MS Excel/
Чтобы определить перечень 28средних регионов по величине ВРП следует:
- создать исходную таблицу с данными всех регионов России по четырем рассматриваемым показателям;
- упорядочить их в порядке возрастания или убывания величины показателя, принятого за групповой признак;
- выбрать 28 регионов, занимающие по величине ВРП 27-54-е места;
- скопировать их и создать исходную таблицу (см. таблицу 1).
Таблица 1
Перечень 28-ми средних регионов России, занимающие по величине ВРП 27-54-е места и их четыре экономических показателей
по данным за 2009 г.
ВРП, млрд.руб.
ОФ, млрд.руб.
Числ., тыс.чел.
Инвес., млрд.руб.
Брянская область
127,0
608,2
27,2
Амурская область
136,8
428,3
99,7
Забайкальский край
140,9
493,5
39,8
Пензенская область
145,1
673,1
46,7
Астраханская область
147,1
463,0
63,1
Рязанская область
149,7
513,9
38,2
Кировская область
150,9
695,7
29,5
Ульяновская область
151,1
605,1
48,7
Калужская область
153,3
481,6
58,9
Чувашская Республика
157,6
601,0
41,6
Курская область
168,0
591,9
48,9
Владимирская область
176,3
705,1
47,9
Калининградская область
181,7
475,8
53,6
Тверская область
197,0
612,0
67,5
Республика Дагестан
211,3
941,4
100,9
Мурманская область
215,9
442,9
41,3
Ярославская область
220,0
671,3
51,9
Тульская область
230,6
785,1
61,8
Удмуртская Республика
240,3
769,9
41,3
Томская область
251,7
496,4
77,1
Липецкая область
263,2
546,1
83,6
Алтайский край
268,8
1102,7
43,6
Хабаровский край
273,2
733,0
89,769
Ставропольский край
275,1
1218,8
78,507
Воронежская область
289,3
1064,7
85,7
Республика Коми
295,6
475,4
108,4
Архангельская область
298,1
615,1
66,0
Вологодская область
298,1
611,3
55,5
Определим количество групп и длину интервала. В соответствии с формулами Стерджеса, если число объектов находится в интервале 22-46 (в рассматриваемой нами совокупности число регионов равно 28), то их следует разбить на шесть групп. При этом длина интервала будет равна i=(Xmax – Xmin)/k =(298,1-127,0)/6=28,5 млрд.руб.
Если длину интервала для каждой группы принять равной одной и той же величине, то разбиение 28 регионов на шест групп примет вид, приведенный в таблице 2.
Таблица 2
Группировка 28 средних по величине ВРП регионов России
(признак группировки величина ВРП в млрд.руб.)
Диапазон группового признака
Кол-во регионов
1 группа
127,0-155,5
2 группа
155,6-184,0
3 группа
184,1-212,5
4 группа
212,6-241,0
5 группа
241,1-269,5
6 группа
269,6 и более
1-6 групп
127,0-298,1
Обработка информации, необходимой для анализа методом группировок, следует начинать с определения суммарных и средних арифметических значений показателей для каждой группы регионов. Для этого в таблицу 1 после перечня регионов группы добавляются по две строки «сумма» и «среднее значение». В ячейки этих строк вводятся встроенные математические функции «сумм» и «срзнач» из MS Excel. Это равнозначно вводу формул:
1) сумм = , 2) ср. знач = ,
где Пij- величина j-того показателя i-того региона;
Пj –величина j-того показателя всей группы регионов.
В результате этих действий таблица 1 преобразуется в таблицу 3.
Таблица 3
Группировка 28-ми средних регионов России с величиной ВРП от 127,0 до 298,1 млрд.руб. по данным за 2009 г.
ВРП, млрд.руб.
ОФ, млрд.руб.
Числ, тыс.чел.
Инвес, млрд.руб
Брянская область
127,0
608,2
27,240
Амурская область
136,8
428,3
99,700
Забайкальский край
140,9
493,5
39,794
Пензенская область
145,1
673,1
46,675
Астраханская область
147,1
463,0
63,091
Рязанская область
149,7
513,9
38,247
Кировская область
150,9
695,7
29,511
Ульяновская область
151,1
605,1
48,73
Калужская область
153,3
481,6
58,857
Сумма
1301,9
3855,0
4962,4
451,8
Ср.значение
144,7
428,3
551,4
50,2
Чувашская Республика
157,6
601,0
41,572
Курская область
168,0
591,9
48,931
Владимирская область
176,3
705,1
47,888
Калининград. область
181,7
475,8
53,568
Сумма
683,6
1416,0
2373,8
192,0
Ср.значение
170,9
354,0
593,5
48,0
Тверская область
197,0
612,0
67,514
Республика Дагестан
211,3
941,4
100,935
Сумма
408,3
1115,0
1553,4
168,4
Ср.значение
204,2
557,5
776,7
84,2
Мурманская область
215,9
442,9
41,312
Ярославская область
220,0
671,3
51,923
Тульская область
230,6
785,1
61,814
Удмуртская Респуб.
240,3
769,9
41,309
Сумма
906,8
2326,0
2669,2
196,4
Ср.значение
226,7
581,5
667,3
49,1
Томская область
251,7
496,4
77,131
Липецкая область
263,2
546,1
83,633
Алтайский край
268,8
1102,7
43,641
Сумма
783,7
1686,0
2145,2
204,4
Ср.значение
261,2
562,0
715,1
68,1
Хабаровский край
273,2
733,0
89,769
Ставропольский край
275,1
1218,8
78,507
Воронежская область
289,3
1064,7
85,651
Республика Коми
295,6
475,4
108,36
Архангельская обл.
298,1
615,1
66,002
Вологодская область
298,1
611,3
55,482
Сумма
1729,4
4640,0
4718,3
483,8
Ср.значение
288,2
773,3
786,4
80,6
На основе данных строк «Сумма» и «Ср.значение» формируются таблицы 4 и 5. Таблица 4 является исходной для последующего анализа, а таблица 5 – первой аналитической таблицей для визуальной оценки наличия или отсутствия связей или зависимостей. В частности, из этой таблицы видно, что с увеличением стоимости основных фондов ВРП растет для групп от второй до шестой. Зависимость ВРП от численности занятых в экономике и от объема инвестиций визуально трудно оценить. Для этого требуется проведение более детального анализа.
Таблица 4
Суммарные величины четырех основных экономических показателей 28-ми средних регионов России, сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.
Диапазон по
групповому признаку, млрд.руб.
Кол-во регионов
ВРП, млрд.руб.
ОФ, млрд.руб.
Числ., тыс.чел.
Инвес., млрд.руб.
127,0-155,5
1301,9
3855,0
4962,4
451,8
155,6-184,0
683,6
1416,0
2373,8
192,0
184,1-212,5
408,3
1115,0
1553,4
168,4
212,6-241,0
906,8
2326,0
2669,2
196,4
241,1-269,5
783,7
1686,0
2145,2
204,4
269,6 и более
1729,4
4640,0
4718,3
483,8
Итого
5813,7
15038,0
18422,3
1696,8
Т
Таблица 5
Основные экономические показатели 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г. в расчете на 1 регион
Диапазон по
ВРП млрд.руб.
Кол-во регионов
ВРП, млрд.руб.
ОФ, млрд.руб.
Числ., тыс.чел.
Инвес., млрд.руб.
127,0-155,5
144,7
428,3
551,4
50,2
155,6-184,0
170,9
354,0
593,5
48,0
184,1-212,5
204,2
557,5
776,7
84,2
212,6-241,0
226,7
581,5
667,3
49,1
241,1-269,5
261,2
562,0
715,1
68,1
269,6 и более
288,2
773,3
786,4
80,6
Итого
207,6
537,1
657,9
60,6
Выявление связей, зависимостей методом статистических группировок требуют выполнения множества однотипных операций и расчетов с использованием моделей на прямые расчеты. В частности, принято выполнять следующие расчеты: а) удельных весов каждой группы объектов в каждом объемном показателе; в) показатели эффективности и технического уровня; г) величины показателей каждой группы к показателям для всей совокупности и др.
Удельные веса каждой группы регионов в каждом объемном показателе можно рассчитать по формулам:
3) Upj = Пpj/ Пj; 3) Upj = Пpj*100/ Пj,
где Upj – удельный вес p-й группы регионов в j-м показателе;
Пpj - величина j-го показателя для p-й группы регионов;
Пj – суммарная величина j–го показателя.
Формула (3) предназначена для расчета удельных весов в долях единицы, а формула (4) - для расчета удельных весов в процентах.
Для расчета удельных весов групп регионов создается пустая таблица 6. В ячейки первой строки этой таблицы вводятся вводится формула (3) или (4). Используя абсолютные ссылки и адресацию ячеек таблицы 4, формулы первой строки копируются в остальные ячейки таблицы 6.
Таблица 6
Удельные веса групп регионов в основных экономических показателях (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.), в процентах к итогу
Диапазон по
групповому признаку, млрд.руб.
Кол-во реги-онов
Кол-во реги-онов
ВРП
ОФ
Числ.
Инвес.
127,0-155,5
32,1
22,4
25,6
26,9
26,6
155,6-184,0
14,3
11,8
9,4
12,9
11,3
184,1-212,5
7,1
7,0
7,4
8,4
9,9
212,6-241,0
14,3
15,6
15,5
14,5
11,6
241,1-269,5
10,7
13,5
11,2
11,6
12,0
269,6 и более
21,4
29,7
30,9
25,6
28,5
Итого
100,0
100,0
100,0
100,0
100,0
По удельным весам можно проводить сравнительную оценку использования ресурсов регионами разных групп. Если удельный вес группы по ВРП больше, чем по ресурсам, то эта группа использует ресурсы более эффективно и, наоборот. Так, удельный вес первой группы регионов в ВРП заметно менше, чем в каждом из ресурсов, а удельный вес четвертой и пятой групп в ВРП больше, чем в каждом из ресурсов. Отсюда следует, что у первой группы регионов эффективность использования ресурсов является самой низкой , у пятой группы – самой высокой, а четвертая группа несколько уступает пятой группе. У остальных трех групп регионов одни ресурсы используются эффективно, а другие - неэффективно.
Более определенно об использовании ресурсов можно судить по показателям эффективности. При этом их целесообразно сравнивать с показателями технического уровня.
На основании 4-х исходных показателей из таблицы 4 или таблицы 5 можно рассчитать следующие показатели эффективности и технического уровня:
а) эффективности производства
- фондоотдачу (FO), руб.;
- производительность труда (ПТ), тыс.руб.;
- инвестиционноотдачу (ИО), руб.;
б) технического уровня
- фондовооруженность труда (ФВ), тыс.руб.;
- инвестиционновооруженность труда (ИВ), тыс.руб.;
- отношение инвестиций к ВРП или норма накопления (НН), %;
- потенциал обновления основных фондов или отношение инвестиций к стоимости основных фондов (ИП), %.
Перечисленные показатели рассчитываются по следующим формулам:
Для расчета показателей эффективности и технического уровня в разрезе групп регионов создается пустая таблица 7. В ячейки первой строки этой таблицы вводятся формулы (5-11), используя адресацию и данные таблицы 4 или 5. Эти формулы затем копируются в ячейки всех остальных строк.
Таблица 7
Показатели эффективности и технического уровня в разрезе
групп регионов (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г.)
Диапазон по
групповому признаку, млрд.руб.
Фо, руб.
Пт, тыс.руб.
Ио, руб.
Фв, тыс.руб.
Ив, тыс.руб.
Нн, %
Ип, %
127,0-155,5
0,338
262,4
2,88
776,8
91,1
34,7
11,7
155,6-184,0
0,483
288,0
3,56
596,5
80,9
28,1
13,6
184,1-212,5
0,366
262,8
2,42
717,8
108,4
41,3
15,1
212,6-241,0
0,390
339,7
4,62
871,4
73,6
21,7
8,4
241,1-269,5
0,465
365,3
3,83
785,9
95,3
26,1
12,1
269,6 и более
0,373
366,5
3,57
983,4
102,5
28,0
10,4
Итого
0,387
315,6
3,43
816,3
92,1
29,2
11,3
. Данные таблицы 7 являются очень важными аналитическими данными для оценки эффетивности использования каждого из ресурсов в отдельности. Однако по ним трудно судить об эффективности использования всех трех ресурсов и о виде зависимости ВРП от ресурсов, поскольку показатели эффективности различных групп регионов разнонаправлены. Это видно из таблицы 7. Аналогично обстоит дело и с показателями технического уровня.
Но их можно свести к сопоставимым измерителям. Для этого достаточно величины показателей каждой группы (Эpj, ТУpj) соотнести к показателям для всей совокупности (Эj, ТУj) путем деления каждого показателя для каждой группы из таблицы 6 на величины показателей строки «Итого», т.е. по формуле:
ПЭpj=Эpj/Эj ; ПТУpj=ТУpj/ТУj;
ПЭpj=Эpj*100/Эj ; ПТУpj=ТУpj*100/ТУj,
где ПЭpj, ПТУpj – j-й показатель эффективности и технического уровня для p-й группы регионов.
Относительные значения показателей эффективности и технического уровня в разрезе групп регионов приведены в таблице 7.
Таблица 7
Относительные значения показателей эффективности и технического уровня групп регионов (для 28-ми средних регионов России сгруппированных по величине ВРП по данным за 2009 г., показатели для совокупности регионов = 1,00)
Диапазон по
групповому признаку, млрд.руб.
фо
пт
ио
фв
ив
нн
ип
127,0-155,5
0,87
0,83
0,84
0,95
0,99
1,19
1,04
155,6-184,0
1,25
0,91
1,04
0,73
0,88
0,96
1,20
184,1-212,5
0,95
0,83
0,71
0,88
1,18
1,41
1,34
212,6-241,0
1,01
1,08
1,35
1,07
0,80
0,74
0,75
241,1-269,5
1,20
1,16
1,12
0,96
1,03
0,89
1,07
269,6 и более
0,96
1,16
1,04
1,20
1,11
0,96
0,92
Итого
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Таблица 8
Диапазон по
групповому признаку, млрд.руб.
Иэ
Ит
127,0-155,5
2,546
4,168
155,6-184,0
3,201
3,772
184,1-212,5
2,488
4,809
212,6-241,0
3,433
3,356
241,1-269,5
3,479
3,965
269,6 и более
3,169
4,200
Итого
3,000
4,000
Перечисленные расчеты являются многократно повторяющимися. Из этого следует, что для выполнения указанных расчетов целесообразно разработать компьютерную модель.
Все расчеты выполняются по компьютерной модели, разработанной для одной группы.
Компьютерная модель, реализующая метод группировок, создается следующим образом:
- формируется исходная статистическая совокупность из любого количества объектов (регионов), содержащихся в базе данных со всеми их показателями, используемыми для анализа, т.е. создается таблица 1;
- в таблицу 1 вводятся две строки «сумма» и «ср.знач» и с помощью встроенных средств MS Excel рассчитываются их значения по всем показателям;
- рассчитывается удельный вес каждого объекта (региона) статистической совокупности в суммарной величине каждого показателя и для их значений формируется отчетная таблица (таблица 2);
- рассчитываются относительные показатели для каждого объекта и для всей совокупности, которые могут быть определены на основе данных исходной таблицы 1 (эффективности, технического уровня и т.д.) и для их значений создается отчетная таблица (таблица 3);
- рассчитываются отношения (коэффициенты) показателей таблицы 3 для каждого объекта к показателям в среднем для статистической совокупности и для их значений создается отчетная таблица (таблица 4).
Конечной целью разработки и применения математических и компьютерных моделей в экономических исследованиях является формирование аналитических материалов (таблиц, диаграмм, графиков и др.) и формулировка выводов, предложений и рекомендаций.
, 2) ср. знач = 
,