Стационарные случайные процессы

Физическое явление при рассмотрении с позиций теории случайных процессов можно описать в любой момент времени путем осреднения величин по множеству выборочных функций, представляющих данный случайный процесс. Рассмотрим, например, множество выборочных функций (называемое также ансамблем), образующее случайный процесс (рис. 7).

Рис. 7. Ансамбль выборочных функций, формирующих случайный процесс.

Среднее значение (первый момент распределения) случайного процесса в момент времени t₁ может быть найдено путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции ансамбля в момент t₁ и деления этой суммы на число выборочных функций. Аналогичным образом корреляция между значениями случайного процесса в два различных момента времени (смешанный момент, называемый автокорреляционной функцией) определяется путем осреднения по ансамблю произведений мгновенных значений процесса в моменты t₁ и t₁ + t. Иначе говоря, среднее значение m_x(t₁) и автокорреляционная функция R_x(t₁, t₁ + t) случайного процесса {x(t)} (фигурные скобки означают ансамбль выборочных функций) определяются из соотношений:

Причем при суммировании предполагается, что появление всех выборочных функций равновероятно.

В общем случае, когда функции m_x(t₁) и R_x(t₁, t₁ + t), определяемые данными уравнениями, меняются с изменением момента времени t_1, случайный процесс {x(t)} называется нестационарным. В частном случае независимости m_x(t₁) и R_x(t₁, t₁ + t) от t₁ случайный процесс {x(t)} называется слабо стационарным, или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарных процессов постоянно, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига t, т. е. m_x(t₁)= m_x и R_x(t₁, t₁ + t)= R_x(t).

Для случайного процесса {x(t)} можно рассчитать бесконечное множество начальных и смешанных моментов более высоких порядков; их совокупность полностью описывает плотности распределения процесса. Когда все начальные и смешанные моменты распределения не зависят от времени, случайный процесс {x(t)} называется строго стационарным, или стационарным в узком смысле. Для многих практических приложений доказательства слабой стационарности процесса вполне достаточно, чтобы оправдать справедливость предположения о строгой стационарности.