Цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Из этого критерия следует, что все фильтры с конечной импульсной характеристикой абсолютно устойчивы.

В качестве примера воспользуемся критерием (2.15) для проверки устойчивости фильтра, импульсная характеристика которого бесконечна и описывается соотношением

,

где – положительная константа, от которой зависит скорость убывания отсчетов импульсной характеристики.

Учитывая, что , получим

.

Так как , то фильтр устойчив.

3.Критерий оценки устойчивости по системной функции фильтра

В разделе 2.4 показано, что системная функция представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики фильтра

.

Модуль системной функции удовлетворяет неравенству

.

При справедливо неравенство

.

При и при модуль системной функции . Последнее соотношение означает, что в устойчивом цифровом фильтре должны отсутствовать полюсы системной функции в области комплексной переменной z, которая удовлетворяет неравенству .

Следовательно, если полюсы существуют, то в устойчивом фильтре они должны располагаться в области комплексной плоскости, для которой выполняется условие .

Поэтому критерий устойчивости, связанный с системной функцией фильтра, формулируется следующим образом: цифровой фильтр устойчив, если полюсы системной функции располагаются внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат ( ).

Оценим устойчивость фильтра, системная функция которого описывается соотношением

,

где A₁= - 0.5.

Приравняем знаменатель системной функции нулю и определим корень полученного уравнения, который является координатой полюса

.

Область устойчивости и полюс системной функции

2.7. Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (2.16)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

. (2.17)

Из неравенств (2.16) и (2.17) следует неравенство для коэффициента A₁

(2.18)