Канонические формы моделей описания объекта управления

Канонические формы описания объекта управления связаны с понятиями наблюдаемости и управляемости.

Каноническая форма управляемости.

(п. 2.1)

Объект будет полностью управляемым, если под действием управляющего воздействия его можно перевести из начального состояния Х(0) в любое конечное состояние Х(t) за конечное время t.

При дискретном (цифровом) управлении объект

(п. 2.2)

называется управляемым, если существует последовательность управляющих воздействий U[kT], позволяющих перевести объект из произвольного начального состояния Х[0] в конечное состояние X[nT] за время, равное n тактам.

Определим условие управляемости объекта (п. 2.2). Последовательность изменения состояния объекта под действием последовательности управляющего воздействия определяется выражениями

Или при нулевых начальных условиях

, (п. 2.3)

где - матрица управляемости объекта.

После раскрытия матричного уравнения (п. 2.3) получается n уравнений. Для того чтобы эта системы уравнений имела решение (т.е. чтобы под действием последовательности однозначно изменялось состояние объекта, определяемое внутренними координатами х₁, х₂,…,х_n), необходимо, чтобы система состояла из n независимых уравнений, т.е. ранг r системы (п.2.3) был равен n. Из этого следует, что условием управляемости объекта (п. 2.1) является требование, чтобы

или, по другому, чтобы матрица управляемости Q_y имела ранг r=n. Если среди уравнений в выражении (п.2.3.) имеются зависимые уравнения, то ранг матрицы Q_y будет меньше n (r<n). Величина d=n-r – называется дефектом матрицы.

В соответствии с признаком управляемости используется описание объекта в канонической форме управляемости.

Для объекта, имеющего передаточную функцию,

. (п. 2.4)

Передаточную функцию (п. 2.4) можно определить так же как (см. Приложение 1)

, (п. 2.5)

где тройка матриц относится к канонической форме управляемости

(п. 2.6)

Структурная схема объекта в канонической форме управляемости представлена на рис. п. 2.1.

Рис. п.2.1 Структурная схема в канонической форме управляемости

Все полученные выражения справедливы и для непрерывных моделей описания динамики объекта. Достаточно заменить в (п.2.4) оператор z на оператор р, а также на рис. п.2.1 оператор z^-1 заменить на оператор и исключить верхние индексы *.

Каноническая форма управляемости часто используется из-за простоты связи элементов матриц (п. 2.5) и передаточной функции объекта (п. 2.4).